SNS 2010/2011 problema 5

[bozzio]

Un condensatore a facce piane e parallele costituito da due armature quadrate di lato L, poste a distanza d, viene caricato ad un potenziale V e poi disconnesso dalla batteria. Lo stesso viene in seguito immerso in un fluido dielettrico di costante relativa ε e densità ρ fino a quando il liquido all’ interno delle armature riempie per metà il condensatore, se le facce del condensatore sono perpendicolari alla superficie del liquido.
Qual è la differenza di altezza h tra il liquido all’ interno ed all’ esterno del condensatore? (Nella risoluzione del problema si possono trascurare gli effetti di bordo nel calcolo della capacità).

[gilgamesh]

Inserendo il dielettrico tra le armature del condensatore si ottengono due condensatori in parallelo aventi capacità differenti:



Dove x corrisponde alla penetrazione del dielettrico nel condensatore.

La capacità equivalente sarà:



a questo punto si dovrebbe procedere per via differenziale, ma (non so se siete d'accordo) considerando la conservazione dell'energia si può anche lavorare con le differenze finite in questo caso.

Per cui facciamo variare la x (aumentandola) , la capacità del condensatore aumenterà di conseguenza:



Ciò farà diminuire l'energia immagazzinata nel consendatore per cui:



tale variazione energetica corrisponderà all'aumento dell'energia potenziale del dielettrico:



per cui infine per la conservazione dell'energia:

e quindi

Ho trascurato solamente il calcolo di , ma non dovrebbe essere problematico. Naturalmente ho considerato che la carica sulle armature rimane sempre la stessa.
Credo che in linea di massima l'idea risolutiva sia questa, poi per quanto riguarda l'applicazione spero di non aver commesso errori !

[bozzio]

Io avevo pensato così:
Il campo elettrico tra le armature attrae il liquido verso l'alto fin quando non c'è l'equilibrio tra forza peso e forza elettrica. Chiamo il levello che il liquido raggiunge dopo aver immerso il condensato e x l'altezza del liquido nel dielettrico. Calcolo la capacità equivalente e mi viene . A questo punto mi calcolo l'energia immagazinata dal condensatore e l'energia potenziale gravitazionale del liquido . Dato che la condizione di equilibrio impone (equilibrio delle forze). A questo punto faccio la derivata prima di E(x) e la impongo uguale a 0. In questo modo trovo che vale .
Che ne dici?

[Andg94]

Bozzio se rileggi il testo ti accorgi che il condensatore non è disposto verticalmente, come hai fatto te, ma orizzontalmente
Ad ogni modo io inizialmente avevo interpretato che

fino a quando il liquido all’ interno delle armature riempie per metà il condensatore

Indicasse la situazione di equilibrio finale e non la situazione iniziale, anche se col senno di poi mi pare sia più sensata la seconda ipotesi. I conti sono un po' più agevoli nel primo caso, ma il procedimento utilizzato è quello già esposto da gilgamesh. Concordo con la soluzione trovata comunque

[bozzio]

Questa è l'immagine che sta sul sito, ed è verticale come pure il testo dice (perpendicolari alla superficie dice).

[desga]

La conservazione dell'energia non si può applicare perchè durante l'inserimento viene svolto lavoro sul condensatore; bisogna minimizzare l'energia potenziale. Quindi la soluzione di bozzio è quella corretta!

[Andg94]

Sì hai ragione bozzio, ho sbagliato a scrivere, intendevo dire il contrario! Leggendo la tua soluzione infatti non riesco a spiegarmi una cosa, che mi ero spiegato pensando tu avessi supposto le piastre disposte orizzontalmente: per quale motivo la forza peso deve essere pari a quella elettrica? Il campo elettrico tra le due piastre è orizzontale no?

[bozzio]

Penso perché quando inserisci il conduttore si crea un campo elettrico verticale, altrimenti il liquido non potrebbe salire.