SNS 1999/2000 Problema 5

Dalamar · Messaggio da **Dalamar** » 25 ago 2013, 15:50

Mi sembra che di questo problema non si sia mai parlato, quindi...

Un disco metallico di materiale non ferromagnetico di raggio $R$ ruota nel piano verticale a velocità angolare costante $\omega$ in un campo magnetico $B$ parallelo all'asse del disco.

(a) Calcolare la differenza di potenziale che si viene a creare tra il centro e la periferia del disco.

(b) Si ponga il disco in accelerazione per mezzo di un peso di massa $m$ legato ad un filo flessibile avvolto alla periferia del disco e si pongano due contatti striscianti privi di attrito, uno al centro e l'altro alla periferia del disco, connessi tra loro da una resistenza $A$ . Si scriva l'equazione che descrive il bilancio energetico.

(c) Spiegare perché il moto raggiunge una velocità di regime costante e trovarne il valore per $R=50$ cm, $B=1$ kGauss, $A=1\Omega$ , $m=0.1$ kg.

bozzio · Messaggio da **bozzio** » 25 ago 2013, 17:17

a) si ha che $dV/dr=-E(r)$ e che $E(r)=vB=\omega r B$ (la direzione di E giace sul piano del disco e il verso è radiale). A questo punto ho $\Delta V=\int_{0}^R dV=-\int_{0}^R \omega B r dr=-1/2\omega BR^2$ .

Per il punto b) non ho capito bene la situazione. Il disco si muove verso il basso con accelerazione g (penso questo significhi la massa m

) e poi cosa sono i contatti striscianti privi di attrito?

Dalamar · Messaggio da **Dalamar** » 26 ago 2013, 9:15

Il disco non si muove verso il basso, ruota attorno al suo asse a causa della massa appesa al filo... almeno credo

bozzio · Messaggio da **bozzio** » 26 ago 2013, 11:22

Ok il filo è avvolto al disco e, mentre il peso cade verso il basso (suppongo con accelerazione g)g, al disco viene conferita un'accelerazione angolare (giusto?). Il fatto che è flessibile cosa implica ?

bozzio · Messaggio da **bozzio** » 30 ago 2013, 16:52

Premetto di non aver capito bene la situazione. Scendendo il corpo di massa $m$ diminuisce la sua energia potenziale per acquisire energia cinetica e per dare energia al disco, che verrà usata in parte per aumentare la sua velocità e in parte verrà dissipata dalla resistenza. Dato che $P=\Delta V^2 /A=w(t)^2 B^2 R^4 / A$ si ha che $mgdh=1/2 m (dv)^2 +1/2 I (dw)^2 +(dw)^2 B^2 R^4 / (Adt)$ . Ma noi abbiamo che $mgR=I\alpha$ (non so se la flessibilità va contro questa legge...) e $\alpha =dw/dt$ , dunque il bilancio energetico diventa $mgdh=R^2m(dw)^2/2 + mgR dw dt /2 + (dw)^2 B^2 R^4 /( Adt)$ .

desga · Messaggio da **desga** » 31 ago 2013, 20:13

Allora il bilancio energetico è il seguente:

$P_d=-\frac{B^2 \omega^2 r^4}{4R}$ è la potenza dissipata per effetto Joule.

Se E è l'energia meccanica del sistema,
$dE=d(\frac{M r^2 \omega^2}{2}+\frac{m v^2}{2}-mgh)= (\frac{M r^2 2\omega d\omega}{2}+\frac{m r^2 2\omega d\omega}{2}-mgr\omega dt)$ .

Pertanto $dE/dt=r^2\omega\frac{d\omega}{dt}(M+m)-m\omega r g$

Infine si ha che $P_d+dE/dt=0$ ,quindi

$P_d=-\frac{B^2 \omega^2 r^3}{4R}=r\omega\frac{d\omega}{dt}(M+m)-m\omega g$ . Ponendo $\frac{d\omega}{dt}=0$ si ricava che la velocità angolare limite è $\omega'=\frac{4Rmg}{B^2 r^3 }$

EDIT: ho notato ora che ho usato R per la resistenza e r per il raggio. Sono di fretta quindi correggetemi eventuali errori stupidi

SNS 1999/2000 Problema 5

SNS 1999/2000 Problema 5

Re: SNS 1999/2000 Problema 5

Re: SNS 1999/2000 Problema 5

Re: SNS 1999/2000 Problema 5

Re: SNS 1999/2000 Problema 5

Re: SNS 1999/2000 Problema 5