SNS 2009/2010 Problema 1

[Jacopo]

La brutta equazione da non risolvere risulta essere e in effetti non sembra piacevolissima da derivare.[/quote]

ti va di provare a scriverla per confrontarla?

[CoNVeRGe.]

Posto la mia soluzione per i posteri.
Siano la velocità della particella nel sistema dell'emisfera e l'angolo rispetto all'orizzonte del raggio-posizione. Siano e le velocità della particella e dell'emisfera in un sistema solidale col terreno. Pongo
Si dimostra che al momento del distacco si ha:



Per la conservazione dell'energia:



Ora calcoliamo . Sappiamo per la conservazione della quantità di moto orizzontale e per la conservazione della componente verticale della velocità della particella nei due sistemi che:







Quindi ci resta soltanto da calcolare .
La trasformazione galileiana della velocità orizzontale nel passaggio da un sistema all'altro ci da:



Con un po' di calcoli (non necessari al test) si arriva all'equazione che ho scritto anche nel vecchio topic:

[Ippo]

Si dimostra che al momento del distacco si ha:

questa cosa funziona in un sistema inerziale, in cui g è l'unica accelerazione. Qui abbiamo anche l'accelerazione apparente del sistema non-inerziale, che è orizzontale e quindi ha componente centrifuga non nulla. Temo che quella formula non valga.
Ne approfitto per recuperare la mia soluzione (e mi scuso con Jacopo, non avevo visto il post )

- sia la velocità dell'emisfero, quella orizzontale della particella, quella verticale della particella, l'angolo tra la verticale e il segmento centro-particella.

- conservazione dell'energia: relazione tra queste quattro grandezze
è quella già scritta da Converge, (la convenzione sull'angolo è diversa, ma non cambia niente)

- conservazione della quantità di moto: V in funzione di
da cui segue e abbiamo eliminato un'incognita

- nel sistema non inerziale solidale con l'emisfero la velocità della particella tange l'emisfero; composizione delle velocità, in funzione di e
,

- si ottiene una funzione che si può massimizzare
Riprendendo la conservazione dell'energia, facendo le sostituzioni che abbiamo trovato e risolvendo per :


La radice di questa schifezza è l'espressione cercata per .

- dopo il punto di massimo la particella dovrebbe decelerare per continuare ad aderire all'emisfero, ma nessun vincolo la trattiene perciò avviene il distacco.

La brutta equazione da non risolvere risulta essere e in effetti non sembra piacevolissima da derivare.

[Pairo]

Premetto che la mia soluzione era sostanzialmente equivalente, sebbene mi fossi messo in coordinate cartesiane, facendo quindi una considerevole quantità di conti .

C'è una cosa che non mi convince però:

Si dimostra che al momento del distacco si ha:

Se ti metti nel sistema di riferimento della semisfera, dovresti tenere conto anche della forza apparente, no? Se tu applichi la seconda legge di Newton sulla massa, ottieni che la risultante delle forze è uguale all'accelerazione per la massa; questa accelerazione nel sistema della semisfera è giustamente solo quella centripeta, ma agiscono sia la forza di gravità (il contributo tenuto conto da te) ma anche la forza apparente, che è legata all'accelerazione della semisfera nel piano.

EDIT: anticipato da Ippo.

P.S. Per me la parte più difficile del problema è stato proprio trovare la forza apparente. Se riesco questa sera posto la mia (lunghissima e tediosa) soluzione.

[CoNVeRGe.]

Si dimostra che al momento del distacco si ha:

questa cosa funziona in un sistema inerziale, in cui g è l'unica accelerazione. Qui abbiamo anche l'accelerazione apparente del sistema non-inerziale, che è orizzontale e quindi ha componente centrifuga non nulla. Temo che quella formula non valga.

Ma al momento del distacco l'accelerazione apparente è nulla; è comunque errato?

[Pairo]

E' giusto che ti risponda Ippo perché hai fatto a lui la domanda, intanto ti dico la mia; fintanto che la massa tocca la semisfera è soggetta alla forza apparente, perché la semisfera continua ad accelerare. Appena prima del momento del distacco questa forza (apparente) è ancora presente; sostanzialmente, finché la reazione normale del piano è positiva, questa forza c'è. Siccome devi calcolare l'angolo per cui la reazione normale si annulla, per continuità fino a che la massa si è distaccata devi tenere conto della forza apparente.

Comunque il modo di procedere sarebbe lo stesso; l'unica differenza sta nel trovare il valore dell'accelerazione della semisfera per calcolare la forza apparente, che comporta però un sacco di conti; a questo punto puoi applicare la condizione del distacco.

[CoNVeRGe.]

Indico con il modulo della componente orizzontale della forza di contatto tra i corpi.

Si ha:



La forza fittizia è:



Scrivo la risultante delle forze radiali sulla particella assumendo come verso positivo quello entrante nell'emisfera:



Per il contatto si ha , ma questo avviene per , ovvero per:



Questo porta a , e quindi il distacco si ha con l'uguaglianza.

Che dite?

[Pairo]

Mi sembra che adesso vada tutto bene; faccio un po' fatica a confrontarla con la mia perché come ti ho detto era in cartesiane, però dovrebbe essere tutto giusto (l'ultima parola a Ippo però ). Tra l'altro complimenti perché la tua è molto più corta della mia.

[Ippo]

Sì sì, è giusto!
ho detto una boiata, il sistema passa "con continuità" da non-inerziale a inerziale (l'accelerazione è una funzione continua dell'angolo che si annulla ad un certo punto), quindi nell'istante del distacco, e anche "subito prima", è a tutti gli effetti inerziale.
Chiedo umilmente perdono

[Pairo]

Sì sì, è giusto!
ho detto una boiata, il sistema passa "con continuità" da non-inerziale a inerziale (l'accelerazione è una funzione continua dell'angolo che si annulla ad un certo punto), quindi nell'istante del distacco, e anche "subito prima", è a tutti gli effetti inerziale.
Chiedo umilmente perdono

Quindi stai dicendo che il primo approccio di Converge era corretto? In ogni caso, non so se il primo metodo e il secondo conducono allo stesso risultato; però certamente il secondo è corretto, perché tiene conto che la forza apparente tende ad annullarsi al tendere dell'istante del distacco.