SNS 2009/2010 Problema 2

[Alex90]

Due particelle puntiformi, ciascuna di massa , sono vincolate a scorrere senza attrito su un anello circolare di raggio e massa porto verticalmente rispetto al terreno. Le particelle incominciano a scivolare da ferme e simultaneamente dal punto più alto dell'anello, sui lati opposti dello stesso. Determinare il minimo valore di per cui l'anello può, ad un certo momento, muoversi verso l'alto nel campo gravitazionale terrestre.

[SARLANGA]

Qualcuno ha capito se c'era urto tra le due particelle? Il testo non diceva niente...
Secondo me no, e in questo caso la forza che bilanciava la era la forza centripeta delle 2 particelle nel punto diametralmente opposto a quello di partenza?
Rix please

[MrTeo]

A occhio direi che se siamo nel campo gravitazionale terrestre l'accelerazione del centro di massa del nostro sistema deve essere per forza . Quindi per semplificare le cose credo ci possiamo spostare nel sistema di riferimento dell'anello e trovare la condizione per cui, in corrispondenza della discesa delle due masse lungo la rotaia, esso risale con accelerazione maggiore di g (questo poi nel sistema di riferimento ufficiale equivale ad una risalita con accelerazione pari alla differenza tra il valore poc'anzi ( ) trovato e g).

Nel nostro nuovo riferimento il centro di massa deve restare fermo, ergo:



Come vedete ho già escluso le componenti orizzontali delle accelerazioni che si annullano per la simmetria delle masse. A questo punto dobbiamo considerare che è massima a π/2 e vale esattamente . Perciò:



Chiunque passi in questa pagina e legga le mie farneticazioni è ovviamente pregato di lasciare un suo pietoso commento

[Ippo]

A occhio direi che se siamo nel campo gravitazionale terrestre l'accelerazione del centro di massa del nostro sistema deve essere per forza .

altrettanto a occhio credo che tu stia trascurando la reazione normale che tiene fermo l'anello. L'accelerazione del c.d.m. verrebbe

Come vedete ho già escluso le componenti orizzontali delle accelerazioni che si annullano per la simmetria delle masse. A questo punto dobbiamo considerare che è massima a π/2 e vale esattamente

cioé (forse ho capito male) dici che l'anello potrebbe saltare quando le masse sono sul diametro orizzontale? In quel punto però le masse esercitano reazioni orizzontali sull'anello, non potrebbero mai sollevarlo.

[eli9o]

NO!!! Sono un pirla. Ma perché l'anello dovrebbe essere attaccato da qualche parte?

[Davide90]

Due particelle sono vincolate a scorrere senza attrito su un anello circolare

A quanto pare sono stato l'unico a non avere capito esattamente cosa intendessero per vincolate, e ad avere risolto un altro problema... Bastava aggiungere "per l'intero giro" o qualcosa di simile e sarebbe stato molto più chiaro!
Comunque è entusiasmante riuscire a risolverlo in neanche due minuti la mattina dopo!
Vabbè, lo posto così magari mi aggiungono qualche punto, se qualche correttore frequenta il forum...

Dal momento che le particelle sono vincolate a percorrere la traiettoria circolare dell'anello, quest'ultimo fornisce una reazione vincolare N che, insieme alla componente radiale della forza peso, fornisce l'accelerazione centripeta necessaria a mantenere le particelle nel loro moto circolare intorno all'anello.
Quindi

dove è l'angolo tra la verticale e il raggio mandato sulla particella.
Ma la velocità v della particella è anch'essa vincolata dalla conservazione dell'energia all'angolo :

Da queste due belle relazioni ricaviamo

Ora notiamo che per il terzo principio di Newton (quello di azione e reazione) anche le particelle esercitano sull'anello una forza uguale in modulo e contraria in verso a N: questa forza avrà una componente verso l'alto, , che ad un certo momento supererà la forza peso dell'anello:

(il 2 indica che le particelle esercitanti questa forza sono 2).
Ricavando otteniamo un trinomio di secondo grado che ha soluzioni se il è : come per magia, rimane alla fine


Che frustrazione...
A sto punto rilancio con il bonus :
Due particelle puntiformi, ciascuna di massa , scorrono senza attrito su un anello circolare di raggio e massa posto verticalmente rispetto al terreno. Le particelle incominciano a scivolare da ferme e simultaneamente dal punto più alto dell'anello, sui lati opposti dello stesso. Determinare (se esiste) il minimo valore di m/M per cui l'anello può, ad un certo momento, muoversi verso l'alto nel campo gravitazionale terrestre.

[Ippo]

NO!!! Sono un pirla. Ma perché l'anello dovrebbe essere attaccato da qualche parte?

non è attaccato, è appoggiato a terra! altrimenti tutto l'affare cadrebbe insieme e le masse rimarrebbero sulla cima
e finchè è appoggiato a terra il c.d.m. ha quell'accelerazione lì. Che poi la soluzione di Davide (che è anche la mia) non usa l'accelerazione del c.d.m., quindi il problema non si pone molto.

[eli9o]

Vabè, a questo punto se è appeso o appoggiato non cambia molto. Che nervoso!
Comunque la forza l'ho trovata. Mancava da imporla uguale al peso, spero conti qualcosa.

[MrTeo]

NO!!! Sono un pirla. Ma perché l'anello dovrebbe essere attaccato da qualche parte?

non è attaccato, è appoggiato a terra! altrimenti tutto l'affare cadrebbe insieme e le masse rimarrebbero sulla cima
e finchè è appoggiato a terra il c.d.m. ha quell'accelerazione lì. Che poi la soluzione di Davide (che è anche la mia) non usa l'accelerazione del c.d.m., quindi il problema non si pone molto.

Proprio di farneticazioni si trattava... avevo pensato ad un anello libero in movimento sotto l'azione del campo... dimenticando che in tal caso le masse come ha detto Ippo non sarebbero scivolate (ecco spiegato anche il significato della massima accelerazione a metà "altezza")

[Davide90]

Vabè, a questo punto se è appeso o appoggiato non cambia molto. Che nervoso!
Comunque la forza l'ho trovata. Mancava da imporla uguale al peso, spero conti qualcosa.

Comunque sarai d'accordo con me che quel testo era veramente lasciato alla libera interpretazione del pubblico.
Già secondo me in gara è difficile avere la concentrazione e la calma necessarie per vedere ogni problema nel modo giusto, però se ci si mettono anche loro con testi così....

Anche il problema sull'astronave era scritto in maniera incomprensibile, si poteva capire in almeno un paio di modi... Quello della pressione di radiazione è il più corretto e sono d'accordo, ma bastava porre la frase in modo diverso, tipo "la vela solare accelera in direzione radiale l'astronave": così il problema era comunque ancora da risolvere, però era un po' più univoca l'interpretazione!