SIMULAZIONE: SNS 2003/2004 Problema 4

[Loren Kocillari89]

Si consideri una piastra metallica (indicata in figura con un quadrato) collegata capacitivamente ad un generatore di tensione. Determinare il numero di elettroni in eccesso (o difetto) presenti sulla piastra che minimizzano l’energia del sistema

[mrossi]

Boh io provo...

Allora i due condensatori in serie hanno una capacità equivalente



in quanto .

La carica totale sul condensatore sarà dove Q è la carica in eccesso nella piastra.

L'energia immagazzinata, in funzione di Q, è quindi



Per trovare il minimo basta studiare la derivata di U, che si annulla per .

A questo punto , dove n è il numero di elettroni e , quindi , che ovviamente non è possibile in quanto n deve essere intero.

Provo allora numericamente con n=3 e n= 4 e l'energia minima è per n = 3.

[Omar93]

Lo so che è tardi(non riesco a dormire e ora non so come farò a svegliarmi presto domani) e che è quasi vietato riesumere questi vecchi post ma c'è una domanda che mi assilla. Se io ora metto questa carica sulla piastra come si posizionerà?
All'istante iniziale,prima della carica(negativa o positiva) aggiunta,diciamo così i condensatori C1 e C2 sono in serie (infatti per prima cosa sono 'collegate' da ugual potenziale V, ad esempio, ed hanno una stessa carica Q ). Ma dopo la carica aggiunta che succede? I condensatori credo non siano più in serie. A questo punto dovrei considerare 3 capacità collegate? Che ne dite voi?

[Pigkappa]

Io il problema lo farei diversamente. Una volta che ci si rende conto che il numero di elettroni che serve metterci è piccolo e intero, proviamo a distribuire questi elettroni sulle due piastre (facendo solo i casi di carica multipla di e piccola). L'energia è la somma delle energie dei due condensatori.

Se si volesse fare per bene e nel caso generale di carica che non è multiplo intero di , la funzione da minimizzare sarebbe che dipende da 2 parametri, cioè dalla carica su ognuna delle due facce di quella piastra metallica, con il vincolo .

Può darsi che questo sia equivalente a quello che aveva scritto mrossi (non ho fatto il conto), ma non ne sono sicuro e non mi convince moltissimo quello che dice.



Per rispondere più direttamente a quel che dici tu, anche a me non sembra evidente che la carica sui due condensatori debba essere la stessa. Anzi, di solito si immagina che la carica è la stessa perchè il pezzo di filo che li collega deve essere neutro, ma in questo caso non è così perchè ci stiamo aggiungendo noi elettroni dall'esterno.



[e comunque le 0.16 non sono tardi. le 03.04 iniziano a essere tardino, specie se in questa giornata si ha un esame di cosmologia .]

[modesto]

Può darsi che questo sia equivalente a quello che aveva scritto mrossi (non ho fatto il conto), ma non ne sono sicuro e non mi convince moltissimo quello che dice.

Non convince neppure me perchè mrossi parte dal principio che esista una capacità equivalente ad una serie pari a nel qual caso in effetti si avrebbe un minimo per circa 3 cariche elettroniche (10/3). Ma manca una delle tre condizioni su cui si fonda la formula che dà la capacità equivalente di una serie: che ci sia la stessa carica in valore assoluto su ogni armatura. Impostando come mi sembra suggerisci tu ovvero minimizzando la somma delle energie dei condensatori espresse in funzione di un ipotetico eccesso (difetto) di carica (che si disporrebbe secondo le due capacità di due condensatori in parallelo), dovrebbe risultare il minimo per un eccesso(difetto)di carica nullo.

[Omar93]

Può darsi che questo sia equivalente a quello che aveva scritto mrossi (non ho fatto il conto), ma non ne sono sicuro e non mi convince moltissimo quello che dice.

Non convince neppure me perchè mrossi parte dal principio che esista una capacità equivalente ad una serie pari a nel qual caso in effetti si avrebbe un minimo per circa 3 cariche elettroniche (10/3). Ma manca una delle tre condizioni su cui si fonda la formula che dà la capacità equivalente di una serie: che ci sia la stessa carica in valore assoluto su ogni armatura. Impostando come mi sembra suggerisci tu ovvero minimizzando la somma delle energie dei condensatori espresse in funzione di un ipotetico eccesso (difetto) di carica (che si disporrebbe secondo le due capacità di due condensatori in parallelo), dovrebbe risultare il minimo per un eccesso(difetto)di carica nullo.

Anch'io, però senza dimostrarlo, avevo pensato così. Però potresti spiegarmi perchè si dovrebbe disporre in quel modo la carica?

[modesto]

Anch'io, però senza dimostrarlo, avevo pensato così. Però potresti spiegarmi perchè si dovrebbe disporre in quel modo la carica?

Mi posi il quesito quando lo affrontai per la prima volta seguendo la strada indicata da Pigkappa. Intuitivamente si arguisce che l'eventuale eccesso x sulla piastra, positivo o negativo, "vede" due condensatori in parallelo di capacità e e dunque si divide in ragione della capacità dei medesimi cioè accorre sul primo in quantità doppia che sul secondo. Ma se fai il conto energetico sotto l'ipotesi dell'eccesso x viene un risultato interessante nell'energia totale dei due condensatori espressa in funzione di e ovvero . Il primo termine rappresenta l'energia dei due condensatori considerati in serie e con la stessa carica. Infatti sarebbe uguale a dove è proprio la capacità equivalente alla serie. Il secondo termine sarebbe uguale a cioè all'energia di due condensatori in parallelo con carica complessiva x e che quindi si dispone (2/3)x su e (1/3)x su .
Inoltre il valore è giustamente indipendente dal segno di x e assume il valor minimo nel vertice della parabola rivolta verso l'alto cioè per x=0.