Macchina di Atwood... Infinita!

[Falco5x]

la soluzione converge (forse) a:

(il segno meno indica che l'accelerazione è rivolta verso l'alto)

Seppure tardivamente, il metodo "furbo" per risolvere questo problema l'ho trovato; cancello il "forse" e dico che la soluzione è proprio quella. Non occorre fare iterazioni, basta fare la considerazione che il sistema dalla seconda carrucola in poi si comporterebbe esattamente come l'intero sistema se fosse ancorato in un punto fisso, anziché in un punto con accelerazione "a".
Adesso posso dire anch'io "bello questo problema". Meglio tardi che mai!

come nell'ultimo problema postato da pigkappa devi mostrare il tuo ragionamento nn puoi fare un copia e incolla del risultato

Vedi, lo so benissimo che un risultato non spiega niente, e poiché dalla tua osservazione deduco che non appare evidente il motivo per il quale agisco in questo modo, cerco di spiegarlo.
Non credo che in questo forum si vinca qualcosa se si arriva primi e si spiega subito tutto; se lo si facesse l'unico risultato ottenuto sarebbe quello di impedire ad altri di arrivarci da soli, scippando loro la soddisfazione di trovare la soluzione con mezzi propri.
Preferisco allora tenere aperta la discussione, e se dopo un certo tempo non arrivano altri contributi allora posto il procedimento seguito e mi aspetto altri commenti/contestazioni/richieste di chiarimento.
Credo che in questo modo il mio contributo abbia un senso maggiore.
Se però qualcuno ha opinioni diverse, parliamone pure.

[Falco5x]

Soluzione.
Chiamiamo C1 la carrucola più in alto attaccata al soffitto, e C2 la seconda carrucola attaccata al filo che passa nella gola di C1.
Chiamiamo m1 il corpo appeso direttamente a C1 e m2 il corpo appeso direttamente a C2 (entrambi i corpi hanno massa uguale pari a m)
Altre definizioni:
accelerazione di m1 da trovare.
tensione sul filo che regge m1, uguale a quella dall’altra parte di C1.
La relazione che lega questa tensione al moto di m1 è
Poiché il filo che regge C2 è lo stesso che regge m1, si deduce che l’intero sistema a partire da C2 in poi è un sistema accelerato con accelerazione verso il basso.
Poiché il numero di carrucole è infinito, la considerazione chiave che sta alla base della soluzione del problema deve essere che se il sistema dalla C2 in poi fosse attaccato in un punto fermo (come lo è C1) esso si comporterebbe esattamente come si comporta l’intero sistema a partire dalla C1.
Il sistema dalla C2 in poi, però, essendo un sistema accelerato con accelerazione verso il basso, ristente di una gravità equivalente pari non a g, bensì a .
Allora questa gravità agisce anche su m2, la quale dunque sarà soggetta a una accelerazione verso l’alto pari a

Inoltre la tensione del filo che regge m2 deve essere
Il bilancio delle forze sul corpo m2 diventa dunque:













Il caso (accelerazione verso l’alto) corrisponde alla soluzione cercata, mentre il caso corrisponde alla soluzione degenere ma anch’essa valida, seppure banale, in cui tutte le tensioni delle funi sono nulle, per cui la massa m1 cade con accelerazione g verso il basso (per visualizzare questa soluzione si può immaginare che all’infinito l”ultima” massa sia nulla, e allora l’intero sistema è scarico).

[Donato Palermo]

nn ho capito perche T2=T1/2 ?????????????

[Falco5x]

nn ho capito perche T2=T1/2 ?????????????

Sulla carrucola 2 ci sono due corde: una attraversa la gola, una sostiene la carrucola mediante il perno.
La corda che attraversa la gola ha tensione . Questa tensione agisce sulla carrucola come una forza verso il basso sia a destra che a sinistra (le due tensioni non possono essere diverse perchè la carrucola ha momento di inerzia nullo). La corda che sostiene la carrucola, dunque, deve avere tensione pari alla somma delle due forze di cui sopra, ovvero , perché la carrucola ha massa nulla.

[String]

Forse non ho capito bene il problema, ma perchè tutte le masse hanno accelerazione rivolta verso l'alto?
Perchè poi l'accelerazione verso l’alto di è pari a

[Falco5x]

Forse non ho capito bene il problema, ma perchè tutte le masse hanno accelerazione rivolta verso l'alto?

Questa è una libera supposizione che faccio a priori sulla m1. Se poi alla fine esce un risultato negativo, allora l'accelerazione è verso il basso. Avrei potuto benissimo supporre che fosse verso il basso e sarebbe uscito un risultato negativo.

Perchè poi l'accelerazione verso l’alto di è pari a

E' una semplice questione di proporzioni.
La domanda che mi sono posto è la seguente: se in un sistema soggetto solo ad accelerazione di gravità pari a si nota che una massa viene accelerata con accelerazione , quale sarebbe l'accelerazione della stessa massa se lo stesso sistema fosse in un campo gravitazionale di valore diverso, ad esempio ?
Basta fare una semplice proporzione:

[String]

Si, ok, mi convince

Forse non ho capito bene il problema, ma perchè tutte le masse hanno accelerazione rivolta verso l'alto?

Questa è una libera supposizione che faccio a priori sulla m1. Se poi alla fine esce un risultato negativo, allora l'accelerazione è verso il basso. Avrei potuto benissimo supporre che fosse verso il basso e sarebbe uscito un risultato negativo.

So che è una scelta arbitraria dato che non si conosce il verso a priori...ciò che non capisco è: come fa il sistema a partire da C2 ad essere sottoposto ad una accelerazione verso il basso se tutte le masse che ne fanno parte accelerano verso l'alto dato che il risultato dell'accelerazione è positivo?

[Falco5x]

So che è una scelta arbitraria dato che non si conosce il verso a priori...ciò che non capisco è: come fa il sistema a partire da C2 ad essere sottoposto ad una accelerazione verso il basso se tutte le masse che ne fanno parte accelerano verso l'alto dato che il risultato dell'accelerazione è positivo?

Non so se ho capito la domanda, comunque provo a rispondere.
Concentriamoci sulla m2.
Se la m2 va verso l'alto, la C2 può benissimo sia salire che scendere.
Se ad esempio scende, pensa che la accelerazione con cui scende la C2 ha il solo effetto di "alleggerire" la gravità dell'intero sistema, cosicché il sistema equivalente è come se fosse soggetto a una gravità più bassa cioè . In questo ambito le masse possono sia salire che scendere, tutto dipende da cosa succede sulle funi che le sostengono e che dall'altra parte delle rispettive carrucole vedono a loro volta un intero sistema costituito da un grappolo infinito di masse. Nulla di sorprendente se la massa equivalente di questo grappolo prevale sulla singola m che sta a sinistra di ogni carrucola! Per cui qui l'intuizione aiuta poco. Quello che aiuta sono l'applicazione dei principi fisici, la logica e i calcoli.

[String]

Quindi le carrucole possono essere soggette a forze nonostante siano prive di massa?

[Falco5x]

Quindi le carrucole possono essere soggette a forze nonostante siano prive di massa?

Bisogna vedere cosa si intende.
Siccome le carrucole sono prive di massa (e pure prive dunque di momento di inerzia), sulle corde valgono le seguenti relazioni:
detta T la tensione sul ramo sinistro della corda che passa nella gola della carrucola, il ramo destro della stessa corda ha anch'esso tensione T. Se non fosse così la carrucola sarebbe soggetta a un momento torcente, ma avendo momento di inerzia nullo ciò risulterebbe un controsenso.
La tensione della corda che sostiene il perno della carrucola ha tensione 2T: infatti deve equilibrare le tensioni delle due corde che tirano verso il basso. Infatti se così non fosse la carrucola sarebbe soggetta a una forza netta data dalla differenza tra le tensioni sopra-sotto, e avendo massa zero ciò sarebbe un controsenso.
Insomma la carrucola si può definire una macchina semplice che trasmette verso il basso la stessa forza traente sul perno, ripartendola in parti uguali sulle due corde sottostanti.