SNS 1998/1999 - 6

[eli9o]

Un osservatore si trova all'interno di una cabina di un ascensore in caduta libera (con accelerazione g). Si immagini che l'osservatore compia della misure per studiare la propagazione di un raggio di luce rispetto ad un sistema di coordinate solidale con la cabina. Secondo il "principio di equivalenza", l'osservatore troverà che la luce si propaga in linea retta e con velocità costante. Per questa ragione un raggio di luce che percorre la distanza di un metro in direzione ortogonale alla forza di gravità subisce, per un osservatore solidale con la Terra, una piccola deviazione. Di quale ordine di grandezza? Si immagini di comprimere tutta la massa della Terra in una sfera di raggio R. Calcolare per quale valore di R un raggio di luce emesso orizzontalmente in un qualunque punto della superficie percorrerebbe un' "orbita" circolare ritornando al punto di partenza.

[MrTeo]

Potrebbe sembrare decisamente banale come risoluzione... ma mi pare anche abbastanza ragionevole (almeno nel primo punto... nel secondo non so se ci siano fenomeni relativistici in gioco, se così, dimenticate il mio improvvido intervento ).

Calcolo la deviazione considerando lo spazio percorso in accelerazione dall'ascensore rispetto al raggio nel tempo che ci mette la luce per percorrere un metro (questa è poi anche la deviazione angolare in radianti dato che il raggio è proprio un metro):



Poi impongo la condizione per l'orbita del fotone con la legge di gravitazione:



A voi i commenti del caso

[eli9o]

Premetto che l'ho messo perché non ero proprio convinto della mia soluzione comunque il primo punto direi che va bene anche se se parte da fermo. Credo sia comunque giusto perché va considerato lo spazio che "guadagna" rispetto al moto uniforme. L'unica differenza se parte in movimento è che se tiene il laser orizzontalmente vede il raggio un po' inclinato (è vero?).

Secondo me per il secondo punto devi sfruttare il risultato del primo.

[Ippo]

Anch'io l'ho fatto così e anch'io avevo la sensazione che invece chiedessero di sfruttare il risultato del primo (anche perché il problema precedente tratta la Luna ed è praticamente analogo a questo), ma se c'è una soluzione più semplice non vedo perché complicarsi la vita. Comunque il fotone non ha massa e quell'equazione va presa con le pinze; se specifichi comunque che , cioè che stai parlando di massa relativistica (concetto brutto ma in questo caso torna utile), dovrebbe andare tutto bene.
In diversi problemi IPhO compaiono cose del genere (approssimazioni dei risultati della relatività generale ottenute trattando i fotoni come particelle con quella massa che obbediscono alla legge di gravitazione di Newton). Questo non vuol dire che sia giusto o che la commissione accetterebbe la risposta, ma almeno non ci stiamo inventando nulla.

[eli9o]

Io avevo posto in modo che il raggio percorresse un quarto di circonferenza dove D, cioè la deviazione è uguale al raggio che vogliamo trovare. Poi utilizzando con ho ottenuto

Perché è sbagliato?

Comunque vedrò di non complicarmi la vita

[Ippo]

così a spanne direi che hai usato un arco troppo grande. Nel corso di un quarto di periodo il campo non è proprio uniforme Se consideri un piccolo spostamento, diciamo di un angolo , ottieni e (dove D, la deviazione, adesso è diversa dal raggio R); ora ti risulta
e

che, uguagliato con l'espressione di sopra, dà
ovvero, esplicitando g,
da cui il risultato corretto
Mi era parso più brutto lì per lì, in realtà non ti sei complicato niente. Anzi, evitando di tirare in ballo la massa del fotone probabilmente questa è la soluzione migliore.

[eli9o]

Nel corso di un quarto di periodo il campo non è proprio uniforme

In effetti...

Comunque è bello il fatto che torni attribuendo la massa al fotone.