sns 2012 n.4
sns 2012 n.4
Un fucile spara un fascio di pallini di diametro pari a 0,5 mm e massa minore di 0,01 gr con divergenza trascurabile. Tale fascio urta perpendicolarmente la faccia di un bersaglio cubico di polistirolo di lato 2 m nel quale sono distribuite casualmente 300 sfere di ferro di 1 cm di raggio [densità del ferro 7,8 gr/cmc]. Il fucile viene mosso in modo da colpire il bersaglio molte volte in molti punti della stessa faccia. Assumere che i pallini attraversino indisturbati il polistirolo e che interagiscano elasticamente con le sfere. Nel risolvere il problema si trascuri l'effetto della gravità.
1. Calcolare con un'approssimazione migliore del 10% la frazione di pallini che subisce una deviazione di più di 120° rispetto alla direzione iniziale del moto.
2. Si moltiplichi per 30 il numero delle sfere. Calcolare nella stessa approssimazione del caso precedente la frazione di pallini che superano il bersaglio senza essere deviati.
(P.S. Avevamo già affrontato il problema con un testo fondato sui ricordi dei concorrenti. Ritengo opportuno pertanto riproporlo ex-novo con il testo ufficiale)
1. Calcolare con un'approssimazione migliore del 10% la frazione di pallini che subisce una deviazione di più di 120° rispetto alla direzione iniziale del moto.
2. Si moltiplichi per 30 il numero delle sfere. Calcolare nella stessa approssimazione del caso precedente la frazione di pallini che superano il bersaglio senza essere deviati.
(P.S. Avevamo già affrontato il problema con un testo fondato sui ricordi dei concorrenti. Ritengo opportuno pertanto riproporlo ex-novo con il testo ufficiale)
Re: sns 2012 n.4
Nonostante il testo ufficiale, mi rimangono alcuni dubbi sull'interpretazione del poroblema. Posto la mia vecchia soluzione adattata dato che si chiede la frazione dei pallini e non il numero (così come era stato fornito nel testo non ufficiale) anche se così non capisco più dove vada a finire quel 10% di approssimazione.
Prima di tutto consideriamo le sfere viste da una faccia: questi occupano l'area di cerchi dello stesso raggio. Consideriamo l'angolo rispetto alla normale alla tangente al punto di contatto sulla superficie di una sfera (che da qui in poi chiamerò di incidenza): questo è esattamente metà dell'angolo di deflessione (considerando che le sfere rimangano immobili dopo l'urto visto che la loro massa è molto maggiore di quella dei pallini). Calcoliamo ora nei nostri cerchi il parametro di impatto che chiamiamo h (cioè la distanza del centro dei pallini dal centro del cerchio) per cui le palline vengono deflesse di un angolo esattamente di 120° (geometricamente si vede e si può verificare che per valori maggiori di h anche l'angolo sarà maggiore): attraverso considerazioni geometriche (considerando la sfera vista di lato, tracciata la tangente al punto di contatto e la distanza h da un diametro parallelo alla direzione iniziale dei pallini e l'angolo di incidenza) si ottiene la relazione , che viste le dimensioni dei pallini possiamo approssimare a .Per h maggiori come già detto si hanno angoli maggiori, quindi quelli deflessi più di 120° sono quelli compresi nella corona circolare tra h e R di area [tex}A_1=\pi (R^2-h^2)={1 \over 4}\pi R^2[/tex].
Ora nascono i problemi di natura interpretativa: se il flusso di pallini è costante (cioè il fucile spara lo stesso numero di pallini su ogni punto della faccia cubo) e le sfere sono disposte in modo che nessuna copra nemmeno parzialmente l'altra, l'area totale che permette la deflessione richiesta è e l'area totale è quella della faccia del cubo quindi la frazione richiesta è x.
Nel secondo caso l'area favorevole è la differenza tra l'area totale e quella delle 9000 sfere, sempre considerando che nessuna delle sfere copra un'altra (tenendo conto che anche se le sfere sono tutte tangenti tra di loro alcuni pallini possono passare anche nei buchi tra le sfere) e quindi abbiamo .
Ma a cosa si riferisce il 10% di approssimazione? Alle approssimazioni fatte nel primo punto riguardo le dimensioni dei pallini e nel secondo punto dato che se anche alcuni pallini possono passare tra le sfere, ci sono alcune aree non coperte dalle sfere che però non consentono il passaggio dei pallini?
Prima di tutto consideriamo le sfere viste da una faccia: questi occupano l'area di cerchi dello stesso raggio. Consideriamo l'angolo rispetto alla normale alla tangente al punto di contatto sulla superficie di una sfera (che da qui in poi chiamerò di incidenza): questo è esattamente metà dell'angolo di deflessione (considerando che le sfere rimangano immobili dopo l'urto visto che la loro massa è molto maggiore di quella dei pallini). Calcoliamo ora nei nostri cerchi il parametro di impatto che chiamiamo h (cioè la distanza del centro dei pallini dal centro del cerchio) per cui le palline vengono deflesse di un angolo esattamente di 120° (geometricamente si vede e si può verificare che per valori maggiori di h anche l'angolo sarà maggiore): attraverso considerazioni geometriche (considerando la sfera vista di lato, tracciata la tangente al punto di contatto e la distanza h da un diametro parallelo alla direzione iniziale dei pallini e l'angolo di incidenza) si ottiene la relazione , che viste le dimensioni dei pallini possiamo approssimare a .Per h maggiori come già detto si hanno angoli maggiori, quindi quelli deflessi più di 120° sono quelli compresi nella corona circolare tra h e R di area [tex}A_1=\pi (R^2-h^2)={1 \over 4}\pi R^2[/tex].
Ora nascono i problemi di natura interpretativa: se il flusso di pallini è costante (cioè il fucile spara lo stesso numero di pallini su ogni punto della faccia cubo) e le sfere sono disposte in modo che nessuna copra nemmeno parzialmente l'altra, l'area totale che permette la deflessione richiesta è e l'area totale è quella della faccia del cubo quindi la frazione richiesta è x.
Nel secondo caso l'area favorevole è la differenza tra l'area totale e quella delle 9000 sfere, sempre considerando che nessuna delle sfere copra un'altra (tenendo conto che anche se le sfere sono tutte tangenti tra di loro alcuni pallini possono passare anche nei buchi tra le sfere) e quindi abbiamo .
Ma a cosa si riferisce il 10% di approssimazione? Alle approssimazioni fatte nel primo punto riguardo le dimensioni dei pallini e nel secondo punto dato che se anche alcuni pallini possono passare tra le sfere, ci sono alcune aree non coperte dalle sfere che però non consentono il passaggio dei pallini?
Re: sns 2012 n.4
Considerare che ogni pallina non sia coperta da un'altra è già un'approssimazione... Penso che nel problema si debba tener conto anche di questo, in special modo nel secondo punto, dove considerare che ogni pallina non copra l'altra (approssimando le sferette come cubetti vorrebbe dire che queste occupano 9/10 della superficie) o che queste siano disposte in "file ordinate" di 100 palline l'una (coprendo in questo caso solo 90 "quadrati" della superficie su 10000) determina un risultato abbastanza variabile, no? D'altronde la probabilità che una pallina copra un'altra non mi pare così remota specie, ripeto, nel secondo caso...
Re: sns 2012 n.4
Nella vecchia discussione ho pensato anche io che l'approssimazione potesse riferirsi alla disposizione delle palline, ma facendo una stima considerando come situazioni limite quella in cui nessuna pallina copre l'altra e quella in cui sono coperte il maggior numero possibile di palline, calcolando il valore medio e gli errori, è uscito fuori un errore maggiore del 60%.
Forse considerando ogni disposizione con le relative disposizioni con cui si può ottenere (facendo quindi una media ponderata) si ottiene una stima migliore, ma dubito che l'errore si riferisca a questo perchè soprattutto nel primo caso le varie disposizioni possibili (e quindi i vari casi da considerare) sono davvero tante.
P.s. non ho mai considerato le sfere come cubi perchè non l'ho ritenuto necessario, nemmeno nel secondo caso perchè come dicevo anche se consideriamo 4 sfere tangenti tra di loro alcuni pallini possono comunque passare attraverso l'area centrale libera.
Forse considerando ogni disposizione con le relative disposizioni con cui si può ottenere (facendo quindi una media ponderata) si ottiene una stima migliore, ma dubito che l'errore si riferisca a questo perchè soprattutto nel primo caso le varie disposizioni possibili (e quindi i vari casi da considerare) sono davvero tante.
P.s. non ho mai considerato le sfere come cubi perchè non l'ho ritenuto necessario, nemmeno nel secondo caso perchè come dicevo anche se consideriamo 4 sfere tangenti tra di loro alcuni pallini possono comunque passare attraverso l'area centrale libera.
Re: sns 2012 n.4
Scusa ma prima di passare al merito della tua soluzione, bisogna che ci accordiamo sulla deflessione. Secondo me è :180° - (2 volte l'angolo di incidenza). Infatti se prosegue indisturbato è poniamo tangente alla sfera e l'incidenza è 90°; se viene riflesso su se stesso (urto perfettamente centrale) l'angolo di incidenza è 0 e la deflessione è proprio di 180°.Gabry ha scritto:Nonostante il testo ufficiale, mi rimangono alcuni dubbi sull'interpretazione del poroblema. Posto la mia vecchia soluzione adattata dato che si chiede la frazione dei pallini e non il numero (così come era stato fornito nel testo non ufficiale) anche se così non capisco più dove vada a finire quel 10% di approssimazione.
Prima di tutto consideriamo le sfere viste da una faccia: questi occupano l'area di cerchi dello stesso raggio. Consideriamo l'angolo rispetto alla normale alla tangente al punto di contatto sulla superficie di una sfera (che da qui in poi chiamerò di incidenza): questo è esattamente metà dell'angolo di deflessione (considerando che le sfere rimangano immobili dopo l'urto visto che la loro massa è molto maggiore di quella dei pallini). Calcoliamo ora nei nostri cerchi il parametro di impatto che chiamiamo h (cioè la distanza del centro dei pallini dal centro del cerchio) per cui le palline vengono deflesse di un angolo esattamente di 120° (geometricamente si vede e si può verificare che per valori maggiori di h anche l'angolo sarà maggiore): attraverso considerazioni geometriche (considerando la sfera vista di lato, tracciata la tangente al punto di contatto e la distanza h da un diametro parallelo alla direzione iniziale dei pallini e l'angolo di incidenza) si ottiene la relazione , che viste le dimensioni dei pallini possiamo approssimare a .Per h maggiori come già detto si hanno angoli maggiori, quindi quelli deflessi più di 120° sono quelli compresi nella corona circolare tra h e R di area [tex}A_1=\pi (R^2-h^2)={1 \over 4}\pi R^2[/tex].
Ora nascono i problemi di natura interpretativa: se il flusso di pallini è costante (cioè il fucile spara lo stesso numero di pallini su ogni punto della faccia cubo) e le sfere sono disposte in modo che nessuna copra nemmeno parzialmente l'altra, l'area totale che permette la deflessione richiesta è e l'area totale è quella della faccia del cubo quindi la frazione richiesta è x.
Nel secondo caso l'area favorevole è la differenza tra l'area totale e quella delle 9000 sfere, sempre considerando che nessuna delle sfere copra un'altra (tenendo conto che anche se le sfere sono tutte tangenti tra di loro alcuni pallini possono passare anche nei buchi tra le sfere) e quindi abbiamo .
Ma a cosa si riferisce il 10% di approssimazione? Alle approssimazioni fatte nel primo punto riguardo le dimensioni dei pallini e nel secondo punto dato che se anche alcuni pallini possono passare tra le sfere, ci sono alcune aree non coperte dalle sfere che però non consentono il passaggio dei pallini?
Re: sns 2012 n.4
Come angolo di deflessione ho considerato l'angolo tra la direzione iniziale e la direzione dopo l'urto, così da avere angolo di deflessione nullo per pallini che non urtano le sfere (a livello linguistico deflessione fa pensare a una deviazione da qualcosa, perchè dovrei dire deflesso un pallino che non ha urtato e continua sulla sua traiettoria?) e pallini che tornano indietro. Comunque scegliere l'angolo di deflessione non influenza il metodo risolutivo, ma (ovviamente) solo il risultato.modesto ha scritto:Scusa ma prima di passare al merito della tua soluzione, bisogna che ci accordiamo sulla deflessione. Secondo me è :180° - (2 volte l'angolo di incidenza). Infatti se prosegue indisturbato è poniamo tangente alla sfera e l'incidenza è 90°; se viene riflesso su se stesso (urto perfettamente centrale) l'angolo di incidenza è 0 e la deflessione è proprio di 180°.
Re: sns 2012 n.4
Sono andato a vedere anche la deflessione o deviazione del prisma ottico. Obbiettivamente la mia formula mi sembra più corretta. Pensa che per te un pallino che fa inversione ad U non viene deviato. Ce l'hanno detto anche a scuola guida che l'inversione ad U equivale a 180°. Ed uno che prosegue indisturbato per te è deflesso di 180°. Ti prego di rifletterci e se hai motivazioni ulteriori comunicamele, perchè è vero i risultati verrebbero troppo diversi e quindi ripeto che per confrontarci bisogna condividere prima questo punto. Ma scusa, anche se apparentemente il tuo metodo sembra giusto, in realtà non rispecchia il fatto che la DEVIAZIONE E' L'ANGOLO FORMATO FRA IL VERSO IN CUI DOVEVA ANDARE IL PALLINO SE NON C'ERANO OSTACOLI E DOVE VA REALMENTE DOPO L'URTO( giustamente bisogna considerare i versi e non le direzioni sennò l'inversione ad U conterebbe per ...zero).Gabry ha scritto:Come angolo di deflessione ho considerato l'angolo tra la direzione iniziale e la direzione dopo l'urto, così da avere angolo di deflessione nullo per pallini che non urtano le sfere (a livello linguistico deflessione fa pensare a una deviazione da qualcosa, perchè dovrei dire deflesso un pallino che non ha urtato e continua sulla sua traiettoria?) e pallini che tornano indietro. Comunque scegliere l'angolo di deflessione non influenza il metodo risolutivo, ma (ovviamente) solo il risultato.
Alla luce di questo essere deviato di oltre 120° significa che l'angolo di incidenza del pallino deve essere minore di 30°.
Invece ho i tuoi stessi problemi interpretativi sul significato del 10% e ci sto riflettendo. Condivido a pieno il discorso del rapporto delle aree e questo richiede però ancor di più la condivisione della misura della deflessione.
Re: sns 2012 n.4
Per me la deflessione è 2 volte l'angolo di incidenza, un pallino che prosegue indisturbato ha angolo di incidenza nullo e quindi anche angolo di deflessione nullo, mentre è nel tuo caso che il pallino che porsegue indisturbato ha deflessione 180° perchè consideri l'angolo 180° meno due volte l'angolo di incidenza (nullo).modesto ha scritto:Ed uno che prosegue indisturbato per te è deflesso di 180°
Per me è indifferente considerare l'angolo di deflessione quello formato tra la direzione finale e quella iniziale o come dici tu tra la direzione finale e il prolungamento della direzione iniziale, considerando la retta lungo la direzione iniziale si ottengono con un angolo i pallini che escono dal cubo (in direzione della seconda faccia) con un angolo (in senso orario) maggiore di 120° rispetto alla retta e con l'altro angolo quelli che tornano indietro verso il fucile con un angolo (in senso antiorario) maggiore di 120° rispetto alla retta.
Scegli tu quindi quello che ritieni più opportuno per fare considerazioni o pubblicare la tua soluzione, per le prossime cose che scriverò utilizzerò l'angolo che hai scelto tu.
Re: sns 2012 n.4
Ti ringrazio per quest'ultima tua decisione. Perchè un pallino che prosegue indisturbato, come avevo detto nel post, ha angolo di incidenza uguale a 90° e non 0° come dici tu. Infatti se prosegue indisturbato tangenzialmente alla sfera, l'angolo di incidenza per definizione è quello di questa direzione (tangente alla sfera) con la NORMALE alla sfera: quindi appunto 90°, con deflessione nulla secondo la "mia" formula ( in realtà non è mia affatto ma è usata in ottica). E invece la deflessione è 180° nell'inversione a U, urto perfettamente centrale e pallino che torna indietro in verso opposto all'incidenza: questo ha infatti angolo di incidenza 0°come è indiscutibile e quindi deflessione 180°.Gabry ha scritto:Per me la deflessione è 2 volte l'angolo di incidenza, un pallino che prosegue indisturbato ha angolo di incidenza nullo e quindi anche angolo di deflessione nullo, mentre è nel tuo caso che il pallino che porsegue indisturbato ha deflessione 180° perchè consideri l'angolo 180° meno due volte l'angolo di incidenza (nullo).modesto ha scritto:Ed uno che prosegue indisturbato per te è deflesso di 180°
Scegli tu quindi quello che ritieni più opportuno per fare considerazioni o pubblicare la tua soluzione, per le prossime cose che scriverò utilizzerò l'angolo che hai scelto tu.
Scriverò nei prossimi giorni la mia soluzione ma devo sottoporti un'osservazione e un dubbio atroce.
1) Se per individuare la frazione facciamo il rapporto di aree queste devono essere perpendicolari alla direzione dei pallini per averne la stessa densità ( per esempio non sarebbe corretto prendere la superficie di una corona sferica e di una semisfera ma è corretto secondo me prendere la corrispondenti sezioni d'urto: corona circolare e area del cerrchio NORMALI alla direzione dei pallini
2) Per calcolare la frazione, che poi è una specie di probabilità, bisogna fare il prodotto di due probabilità, per il teorema delle probabilità composte ? Ovvero: probabilità che il pallino colpisca la sfera (area dei 300 cerchi fratto area del quadrato di 2 m) per la probabilità che l'angolo di incidenza - uso il mio criterio- sia minore di 30° ovvero area del cerchio di raggio R/2 fratto area del cerchio di raggio R? SBAGLIO?
Per il 10% non si potrebbe risolvere la questione dando due cifre dopo la virgola nel coefficiente di 10 alla meno qualcosa che esprime la frazione?
Re: sns 2012 n.4
1) E' quello che ho fatto anche io nella mia soluzione, ho considerato le corone circolari di raggio h che è la proiezione del raggio della sfera passante per il punto di contatto lungo il piano tangente alla sfera perpendicolare alla direzione dei pallini.modesto ha scritto: Scriverò nei prossimi giorni la mia soluzione ma devo sottoporti un'osservazione e un dubbio atroce.
1) Se per individuare la frazione facciamo il rapporto di aree queste devono essere perpendicolari alla direzione dei pallini per averne la stessa densità ( per esempio non sarebbe corretto prendere la superficie di una corona sferica e di una semisfera ma è corretto secondo me prendere la corrispondenti sezioni d'urto: corona circolare e area del cerrchio NORMALI alla direzione dei pallini
2) Per calcolare la frazione, che poi è una specie di probabilità, bisogna fare il prodotto di due probabilità, per il teorema delle probabilità composte ? Ovvero: probabilità che il pallino colpisca la sfera (area dei 300 cerchi fratto area del quadrato di 2 m) per la probabilità che l'angolo di incidenza - uso il mio criterio- sia minore di 30° ovvero area del cerchio di raggio R/2 fratto area del cerchio di raggio R? SBAGLIO?
Per il 10% non si potrebbe risolvere la questione dando due cifre dopo la virgola nel coefficiente di 10 alla meno qualcosa che esprime la frazione?
2) Io ho considerato direttamente l'area favorevole fratto quella sfavorevole, ossia l'area delle 300 corone circolari fratto l'area della faccia, ma è equivalente considerare la probabilità composta, infatti dalla probabilità composta dove Ac è l'area delle corone circolari.
Per la questione del 10%: potrebbe essere tutto, anche il numero di cifre da considerare, ma perchè sottolinearlo (viene ripetuto anche nel secondo punto) solo in questo problema? Tuttavia non vedo dove potrebbe essere l'incertezza se non nella disposizione delle sfere (ma abbiamo già visto che è troppo grande) quindi potrebbe riferirsi o al numero di cifre o all'approssimazione di considerare i pallini puntiformi in confronto alle sfere o, come ho fatto io nel secondo punto, considerare l'area degli spazi tra le sfere tutta attraversabile (mentre in realtà dato che i pallini hanno delle dimensioni, seppure piccole non è così)