sns 2012 n.1

[Gabry]

Allora l'mvd che tu metti nella relazione al momento dell'urto è già la somma di quello della sferetta e di quello del satellite ruotante.

Puoi vederla così oppure mvd è il momento angolare della sferetta a distanza d, non cambia niente in ogni momento il momento angolare è sempre mvd.

Per quanto riguarda l'emissione di energia elettromagnetica io l'ho trascurata in ogni punto essendo un fenomeno marginale date le piccole accelerazioni in gioco (mi pare che ci sia una costante con ordine di grandezza 10^-15), anche nell'ultimo punto ritengo che l'azione frenante dovuta al calore disperso dalle cariche sia molto più significativa della radiazione emessa.

[modesto]

Allora l'mvd che tu metti nella relazione al momento dell'urto è già la somma di quello della sferetta e di quello del satellite ruotante.

Puoi vederla così oppure mvd è il momento angolare della sferetta a distanza d, non cambia niente in ogni momento il momento angolare è sempre mvd.

Per quanto riguarda l'emissione di energia elettromagnetica io l'ho trascurata in ogni punto essendo un fenomeno marginale date le piccole accelerazioni in gioco (mi pare che ci sia una costante con ordine di grandezza 10^-15), anche nell'ultimo punto ritengo che l'azione frenante dovuta al calore disperso dalle cariche sia molto più significativa della radiazione emessa.

Scusa se insisto su una questione che poi non ha rilevanza ai fini dei risultati numerici. Se non si può dimostrare che anche il satellite comincia a girare e quindi, per quel meccanismo di forze interne, ci sia una redistribuzione di momento angolare fino all'urto allora, come avresti risolto in sede d'esame? Come hai fatto, dicendo semplicemente che il sistema è isolato e che quindi si deve conservare il M.A. senza entrare nel merito se la sferetta conserva o perde prima dell'urto il suo momento? Allora anche nel punto 4. mi sembra che tu ritenga il lavoro compiuto dall'induzione la causa decisiva della spiralizzazione e quindi avresti omesso di introdurre il discorso del "ritardo"?
Infine avrei sottolineato in sede d'esame al punto 1 che la conservazione della quantità di moto nell'urto anelastico non produce effetti perchè M>>m. Non si può dire la stessa cosa nella conservazione del momento angolare perchè sono in competizione inversa M>>m e d>>R.

[Gabry]

In un sistema isolato il momento angolare (e anche la quantità di moto) si conserva sempre, questo principio (a quanto ho sentito dire, o meglio ho letto) vale anche in meccanica quantistica e relatività (ovviamente introducendo il momento angolare relativistico che tiene conto degli aumenti di massa) quindi io ho semplicemente considerato il momento angolare iniziale (quando il satellite ancora è fermo) e quello finale in cui satellite e sferetta girano assieme. In ogni istante comunque la somma del momento angolare del satellite e della sferetta è costante, quindi la sferetta perde momento angolare, ma la stessa quantità viene acquisita dal satellite. Per dimostrare (in maniera più rigorosa che spiegare il meccanismo di forze interne) basta considerare che la sfera perde energia cinetica (nel senso che in un determinato punto ha una velocità minore di quanta ne avrebbe avuta nello stesso punto se non ci fosse stata la resistenza del satellite) dato che l'energia deve conservarsi visto che viene prodotto del calore, ma allora il momento angolare della sferetta risulta minore di quello iniziale (dato che la forza non è centrale) quindi, essendo l'unica altra componente del sistema il satellite allora, proprio per il fatto che in un sistema isolato il momento angolare deve conservarsi il satellite deve necessariamente aver acquisito una certa velocità angolare per mantenere il momento angolare costante. Spero di essere stato abbastanza chiaro perchè mi rendo conto che non è facile spiegarsi scrivendo di getto e che posso essere spesso ripetitivo e/o contorto.

Allora anche nel punto 4. mi sembra che tu ritenga il lavoro compiuto dall'induzione la causa decisiva della spiralizzazione e quindi avresti omesso di introdurre il discorso del "ritardo"?

Non ho capito bene a cosa ti riferisci, puoi spiegarti meglio? Io ho trascurato l'emissione elettromagnetica date le piccole accelerazioni in gioco e considerato che la sfera inizia a cadere seguendo un percorso simile a una spirale a causa del momento (dovuto alla resistività che fa si che la forza non sia centrale) che le fa perdere energia cinetica.

[modesto]

In ogni istante comunque la somma del momento angolare del satellite e della sferetta è costante, quindi la sferetta perde momento angolare, ma la stessa quantità viene acquisita dal satellite. Per dimostrare (in maniera più rigorosa che spiegare il meccanismo di forze interne) basta considerare che la sfera perde energia cinetica (nel senso che in un determinato punto ha una velocità minore di quanta ne avrebbe avuta nello stesso punto se non ci fosse stata la resistenza del satellite) dato che l'energia deve conservarsi visto che viene prodotto del calore, ma allora il momento angolare della sferetta risulta minore di quello iniziale (dato che la forza non è centrale)

La prima deduzione "quindi la sferetta perde momento angolare" non è detta: potrebbe conservarlo e il satellite stare fermo. Il momento angolare dipende infatti solo dalla componente della velocità della sferetta ortogonale alla congiungente mentre la perdita di energia cinetica che tu sottolinei, dovuta al lavoro di induzione, potrebbe inficiare solo la componente della velocità della sferetta lungo la congiungente. E' evidente allora che il vero problema è se la forza di attrazione rimanga o no centrale. Se, come dici tu non lo è, lo devi dimostrare. Ed io non vedo alternativa alla spiegazione che si tratta del "ritardo" con cui le cariche affiorano in quella che "era" la congiungente: allora c'è una forza di attrazione sulla sferetta che non solo è maggiore di quella repulsiva ma ha anche una direzione diversa per cui la risultante ha momento frenante rispetto al centro per la sferetta e per reazione momento accelerante per il satellite. Ma questo chi lo può provare?
Se io affermo che la sferetta conserva il suo momento e lo trasferisce tutto al satellite al momento dell'urto ottengo lo stesso risultato. Ti saresti azzardato in sede d'esame a sostenere che il satellite si era già messo in rotazione perchè la forza aveva cessato di essere centrale?

Infine c'è un'osservazione che vale la pena di fare in questo magnifico problema infinito. Dal risultato emerge che la quantità dissipata al punto 2 è fortemente candidata ad essere inferiore di quella dissipata al punto 1. Io sarei pronto a sostenere infatti che e quindi a sostenere che l'energia cinetica acquistata dal satellite con l'urto è maggiore(!) di quella conferita alla sferetta all'inizio. E' inquietante? E' giustificato perchè nel punto 1 si perdeva nell'urto praticamente tutta l'energia cinetica e nel punto 2 no? Oppure sto sbagliando tutto il ragionamento?

Allora anche nel punto 4. mi sembra che tu ritenga il lavoro compiuto dall'induzione la causa decisiva della spiralizzazione e quindi avresti omesso di introdurre il discorso del "ritardo"?

Non ho capito bene a cosa ti riferisci, puoi spiegarti meglio? Io ho trascurato l'emissione elettromagnetica date le piccole accelerazioni in gioco e considerato che la sfera inizia a cadere seguendo un percorso simile a una spirale a causa del momento (dovuto alla resistività che fa si che la forza non sia centrale) che le fa perdere energia cinetica.

Eh, ma riponi lo stesso problema. Perchè la forza non è centrale? Se le cariche superficialmente indotte sul satellite seguissero istantaneamente la sfera, ovvero il centro dell'area indotta negativa e quello dell'area indotta positiva si mantenessero sulla congiungente istantanea dei due centri sferetta-satellite, la forza si manterrebbe centrale. Se non lo fa l'unica spiegazione è il "ritardo" di cui sopra. Ma allora in sede d'esame lo dovresti ammettere e teorizzare se questa è la tua causa di spiralizzazione.
Perchè, senza entrare nel merito della centralità della forza, non dire semplicemente: a causa del lavoro di induzione la sferetta perde energia cinetica per cui la forza centripeta diventa minore della forza disponibile di attrazione e la sferetta si avvicina al satellite? Questo processo evidentemente poi prosegue perchè avvicinandosi deve indurre ulteriori cariche e compiere altro lavoro e così via. Mi pare che così si ovvierebbe ad affermazioni che sono congetture potendosi anche sostenere che le cariche seguono un percorso rotatorio nell'affiorare in superficie in sintonia con la rotazione della sferetta e mantenendo così la forza centrale. Non so se riesco a spiegarmi perchè su un punto siamo assolutamente d'accordo: è quasi impossibile essere chiari "di getto".

[Gabry]

Non è il ritardo di posizionamento delle cariche che fa rallentare la sferetta: se il satellite non avesse resistenza (e trascuriamo l'energia che acquistano gli elettroni quando vengono messi in movimento essendo molto piccola) la sferetta non farebbe alcun lavoro per spostare le cariche sul satellite. Per dimostrare che la forza non è centrale nel punto 2 (non è assolutamente necessario farlo, sicuramente dopo l'urto satellite e sferetta si muovono insieme quindi basta considerare le condizioni iniziali e finali) bisogna considerare ciò che ho scritto sopra: le cariche non si muovono solo radialmente ma iniziano anche a girare attorno al centro del stallite, le cariche però incontrano una resistenza nel loro moviemento, assimilabile ad una forza d'attrito, che si oppone al loro spostamento quindi non in direzione radiale, forza che deve essere vinta dalla forza attrattiva della sferetta, che si ritorce contro la sferetta stessa soggetta quindi ad una forza non centrale, ribadisco che tutto questo era inutile nel punto due non erano necessarie considerazioni di questo genere. Per quanto riguarda l'energia: io eviterei di sostenere fatti di cui non si è certi, si rischierebbe solamente di esporsi a possibili obiezioni da parte dei correttori.

Per quanto riguarda il punto 4 all'inizio la sferetta non ha velocità radiale ed è in orbita, quindi l'unica velocità che può perdere per la conservazione dell'energia è quella tangenziale dunque la forza non è centrale sicuramente almeno all'inizio. Una volta acquistata velocità radiale, dato che non può più restare in quell'orbita avendo perso velocità, ammettiamo (nonostante le considerazioni fatte in precedenza) di non essere sicuri che la forza continui a non essere centrale quindi l'unica velocità che si perderebbe sarebbe quella in direzione radiale. Se così fosse le alternative sono due: o la sferetta continua a cadere fino ad incontrare il satellite oppure si stabilizza in un'orbita più vicina, ma allora perderebbe altra velocità tangenziale (non è detto che sia tangenziale se l'orbita non è circolare) e si ritornerebbe al punto di partenza fino ad avere orbite sempre più piccole e impattare con il satellite. Se la forza (come dovrebbe essere) non fosse centrale durante tutto il processo allora sarebbe ancora più facile capire che colpisca il stallite.

potendosi anche sostenere che le cariche seguono un percorso rotatorio nell'affiorare in superficie in sintonia con la rotazione della sferetta e mantenendo così la forza centrale.

Se ho capito quello che vuoi dire, è quello che Bolzo mi ha fatto notare: se ad un certo punto la sferetta segue un'orbita circolare e il satellite (e quindi le cariche) ruota con la stessa velocità angolare allora si raggiunge una situazione di equilibrio, tuttavia con una forza del genere non so se è possibile un'orbita circolare e inoltre, a meno che il satellite non giri già dall'inizio se si verificassero le ipotesi per la sferetta di poter seguire un'orbita circolare, avendo ormai acquisito una certa velocità radiale questa non sarebbe più permessa (al massimo potrebbe seguire una traiettoria ellittica, ma non mi azzarderei ad affermarlo con sicurezza con quel potenziale, ma così si avrebbe ulteriore spostamento di cariche e perdita di energia).

[Bolzo88]

Bella discussione, state approfondendo dettagli su cui e' bello discutere anche se vanno evitati in sede di esame (agli esami meglio evitare di dire cose su cui si e' incerti se non sono richieste). Non rispondo punto per punto anche perche' e' bello che ne discutiate voi, vorrei solo fare un paio di precisazioni che mi sembrano doverose visto il livello a cui e' giunta la discussione e che spero siano spunti di riflessione:

1) Nel punto 4 effettivamente c'e' la possibilita' che a un certo punto la sferetta stia facendo un'orbita circolare intorno al satellite, con il satellite che ruota su se stesso alla stessa velocita' angolare. Questa situazione sarebbe di equilibrio perche' non c'e' piu' dissipazione nel satellite, in realta' alla lunga si modificherebbe per l'emissione di onde elettromagnetiche che avete giustamente trascurato in presenza di resistivita'. Concordo con Gabry, mi sembra improbabile che si arrivi a questa situazione perche' vorrebbe dire che la velocita' radiale e' in qualche modo ritornata nulla. Tuttavia non e' escludibile a priori, non mi sembra vietata dalla conservazione dell'energia e del momento angolare.

2) Non e' vero che, in un sistema isolato, il momento angolare del sistema si conserva sempre e comunque. Il momento angolare si conserva in presenza di forze centrali perche' esse non fanno momento rispetto al centro di massa. Se le forze non sono centrali il momento angolare puo' cambiare.
Nel nostro problema, nel caso di velocita' iniziale non nulla, la forza non e' esattamente centrale a causa del ritardo del moto delle cariche sul satellite. Dato che la forza e' approssimativamente centrale, la variazione del momento angolare totale per unita' di tempo sara' piccola. Questo ci dovrebbe permettere di poter considerare il momento angolare totale costante se il tempo tipico del sistema e' abbastanza piccolo (nel punto 2 del problema).
Nel punto 4, invece, il tempo di collisione e' molto piu' lungo e difficile da stimare. Questo, secondo me, ci impedisce di assumere che il momento angolare si conservi. Per assumerlo sidovrebbe fare (non ho idea di come) una stima del tempo di collisione e della perdita di momento angolare per unita' di tempo.

EDIT: ho sbagliato, come mi spiega Gabry nei post successivi il momento angolare si conserva, quindi la precisazione (2) cade.

[Gabry]

2) Non e' vero che, in un sistema isolato, il momento angolare del sistema si conserva sempre e comunque. Il momento angolare si conserva in presenza di forze centrali perche' esse non fanno momento rispetto al centro di massa. Se le forze non sono centrali il momento angolare puo' cambiare.
Nel nostro problema, nel caso di velocita' iniziale non nulla, la forza non e' esattamente centrale a causa del ritardo del moto delle cariche sul satellite. Dato che la forza e' approssimativamente centrale, la variazione del momento angolare totale per unita' di tempo sara' piccola. Questo ci dovrebbe permettere di poter considerare il momento angolare totale costante se il tempo tipico del sistema e' abbastanza piccolo (nel punto 2 del problema).
Nel punto 4, invece, il tempo di collisione e' molto piu' lungo e difficile da stimare. Questo, secondo me, ci impedisce di assumere che il momento angolare si conservi. Per assumerlo sidovrebbe fare (non ho idea di come) una stima del tempo di collisione e della perdita di momento angolare per unita' di tempo.

Ma se consideriamo il sistema sferetta più satellite non ci sono forze esterne che agiscono sul sistema, le forze interne (come l'attrazione e quella dovuta alla resistenza) non dovrebbero contare nella variazione di momento angolare. E' come il caso di un uomo seduto su una sedia girevole, senza forze esterne (inclusa la gravità) può muoversi e provare quanto vuole non riuscirà mai a cambiare il momento angolare del sistema sedia più uomo (al massimo può mettersi all'impiedi e iniziare a girare su se stesso ma a questo punto anche la sedia inizierebbe a girare nel verso opposto mantenendo il momento angolare nullo).

[Bolzo88]

Ma se consideriamo il sistema sferetta più satellite non ci sono forze esterne che agiscono sul sistema, le forze interne (come l'attrazione e quella dovuta alla resistenza) non dovrebbero contare nella variazione di momento angolare. E' come il caso di un uomo seduto su una sedia girevole, senza forze esterne (inclusa la gravità) può muoversi e provare quanto vuole non riuscirà mai a cambiare il momento angolare del sistema sedia più uomo (al massimo può mettersi all'impiedi e iniziare a girare su se stesso ma a questo punto anche la sedia inizierebbe a girare nel verso opposto mantenendo il momento angolare nullo).

Precisazione: in questa discussione non sono sicuro al 100% di quello che dico come lo ero nella soluzione del problema, quindi correggetemi se dico cose sbagliate.
Detto questo, io sono convinto che in un sistema isolato di due corpi non e' detto che il momento angolare si conservi. Faccio un esempio.
Supponiamo di avere due corpi puntiformi di massa m, nelle posizioni (0,1) e (0,-1). Supponiamo che agiscano solo forze interne fatte in questo modo: sul corpo in alto, una forza F verso sinistra. Sul corpo in basso, per il principio di azione e reazione, una forza verso destra. Entrambe queste forze generano un momento positivo nel sistema del centro di massa e quindi fanno aumentare il momento angolare. Quindi il momento angolare totale non si conserva.

Secondo me nel sistema sedia piu' uomo il momento angolare si conserva perche' le forze sono tutte di contatto: di conseguenza, se una forza genera un momento positivo, la sua reazione, avendo lo stesso punto di applicazione, genera un momento negativo che lo annulla. In totale, quindi, le forze interne generano sempre un momento nullo e il momento angolare si conserva.

[Gabry]

Credo che il problema sia che per il terzo principio della dinamica le forze di azione e reazione hanno la stessa retta d'azione, nel tuo esempio sono due rette parallele.

[Bolzo88]

Credo che il problema sia che per il terzo principio della dinamica le forze di azione e reazione hanno la stessa retta d'azione, nel tuo esempio sono due rette parallele.

A me non risulta che abbiano la stessa retta di azione per principio. Per esempio se l'interazione e' tramite un campo magnetico la retta di azione non e' la stessa. Poi sono d'accordo con te, se hanno la stessa retta di azione il momento angolare si conserva, almeno se i corpi puntiformi sono due.
Anche nel nostro caso del problema del satellite la forza totale e' leggermente deviata dall'asse satellite-sferetta.