Corpo che accelera verso un pianeta

[Omar93]

Dato che di solito non mi faccio capire ditemelo per piacere..

[Epimenide]

Dato che di solito non mi faccio capire ditemelo per piacere..

Il periodo è il tempo impiegato a fare una rotazione attorno al pianeta, immaginando un ellisse degenere riferito agli assi con asse maggiore sull'asse y, di lunghezza ed asse minore "infinitesimo" (brr...) ed il pianeta non in uno dei fuochi ma nel suo centro di simmetria, un periodo sarebbe composto da:
- rotazione dal massimo in fino al pianeta, nel (per esempio) II quadrante;
- rotazione dal pianeta al minimo nel III;
- rotazione dal minimo al pianeta nel IV;
- rotazione dal pianeta al massimo nel I.
Quindi la caduta sarebbe T/4.

Il limite di questa schematizzazione è intanto che questa è la caduta fino al centro del pianeta, modello valido solo se R<<a. Come se non bastasse, se il pianeta non sta nel centro di simmetria, ma in uno dei fuochi, come dovrebbe essere, si perdono tutti i riferimenti. Oltretutto non funziona granché in ogni caso come modello, un ellisse "schiacciatissimo" ha un'eccentricità molto elevata, quindi il pianeta sarebbe vicinissimo ad un estremo e lontano praticamente 2a dal secondo, è un moto davvero strano, non ricorda proprio la caduta.

[Pigkappa]

Invece che cercare di capire la geometria un po' perversa di un'ellisse degenere, trovate il semiasse con l'energia...

Comunque mi pare di ricordare che anche l'integrale si possa fare, con un po' di ingegno.

[balossino]

Non ho capito la tua "idea disperata" sinceramente

Hai ragione, scusami: ora mi spiego. Dopo aver suddiviso il raggio dell'orbita in infinitesimi percorsi , avrei diviso ognuno di questi per la velocità istantanea nel tratto, ottenendo il trascorso durante il tragitto. Integrando questi avrei ottenuto il tempo totale. Da cui la formula di prima.

[Gabry]

Dato che di solito non mi faccio capire ditemelo per piacere..

Il limite di questa schematizzazione è intanto che questa è la caduta fino al centro del pianeta, modello valido solo se R<<a. Come se non bastasse, se il pianeta non sta nel centro di simmetria, ma in uno dei fuochi, come dovrebbe essere, si perdono tutti i riferimenti. Oltretutto non funziona granché in ogni caso come modello, un ellisse "schiacciatissimo" ha un'eccentricità molto elevata, quindi il pianeta sarebbe vicinissimo ad un estremo e lontano praticamente 2a dal secondo, è un moto davvero strano, non ricorda proprio la caduta.

Un'ellisse con un eccentricità che tende all'infinito coincide con un segmento e il moto del corpo si traduce in un'oscillazione tra i due estremi (puoi vederlo come una palla che cade verso il pianeta rimbalza e torna indietro, il periodo è identico)... Se il raggio del pianeta è confrontabile con la distanza tra i due pianeti sorgono anche altri problemi, ad esempio la forza gravitazionale varia consistentemente tra due punti del corpo ed essendo una relazione non lineare con la distanza non puoi più considerarla come un unica forza applicata al centro di massa, dovresti sommare tutti gli infinitesimi contributi...

trovate il semiasse con l'energia.

Come si fa?

[balossino]

Ok ragazzi: ho fatto una quantità di calcoli a dir poco disumana, che mai avrei immaginato di fare nella mia vita prima dell'università: MA ho trovato una funzione che fornisce esattamente il tempo trascorso in ogni punto della caduta! (E sì, la soluzione dell'ellisse degenere era giusta. Viene lo stesso risultato.)

Dunque, come dicevo dobbiamo integrare . Poiché , l'integrale diventa . Ebbene, sono arrivato a concludere che , al che la formula per il tempo si scrive come . Sostituendo r=R si ottiene proprio che è lo stesso valore che trovavamo con l'ellisse.

Così, volendo possiamo tenere in conto anche del raggio del pianeta. Ma secondo me poteva essere sufficiente la stima che facevamo considerando il pianeta puntiforme.

[Epimenide]

Bel lavoro, i miei complimenti.

C'è un errore di scrittura, il simbolo di radice dopo dell'integrale, ma è chiaro. Posso chiederti come diavolo sei riuscito a fare quell'integrale?

[balossino]

Bel lavoro, i miei complimenti.

C'è un errore di scrittura, il simbolo di radice dopo dell'integrale, ma è chiaro. Posso chiederti come diavolo sei riuscito a fare quell'integrale?

Ci ho solo tipo perso tutta la mattina Si trattava di sostituire e quindi veniva . A quel punto integravi per parti ricordando che e ti veniva una formula che sorprendentemente si semplificava.
Un lavoraccio che non consiglierei a nessun fisico, ma ne è valsa la pena visto che mi iscrivo in matematica

A proposito, il problema viene dal test di ammissione in Normale del 2005, e sì, si risolveva col trucco dell'ellisse. Infatti (per rispondere al dubbio di Epimenide sul raggio del pianeta) qui si fa riferimento a un "oggetto massivo" e non a un pianeta, perciò è legittimo trascurare il volume. Ma mi chiedevo come avrebbe lavorato un fisico di fronte al problema con il pianeta, decisamente più concreto.

[balossino]

C'è un errore di scrittura, il simbolo di radice dopo dell'integrale

Sorry, ora edito.