Corpo che accelera verso un pianeta

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balossino
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Corpo che accelera verso un pianeta

Messaggio da balossino » 9 ago 2012, 0:55

Forse dovrei postarlo in "Teoria", perché sono sicuro che è risaputo, ma nel caso si accendesse un dibattito meglio metterlo qui.

Ho un pianeta di massa M e un corpo di massa m, con M>>m. Il corpo parte da fermo nel sistema di riferimento del pianeta, e accelera verso di esso sotto il solo effetto della gravità. La distanza iniziale è tale che il campo non può essere modellizzato come uniforme. In queste condizioni, quanto impiega il corpo a giungere sul pianeta?

Epimenide
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Re: Corpo che accelera verso un pianeta

Messaggio da Epimenide » 9 ago 2012, 2:56

Provando a risolvere usando le equazioni differenziali del moto mi vengono delle robe allucinanti :shock: Sarà l'ora :?

balossino
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Re: Corpo che accelera verso un pianeta

Messaggio da balossino » 9 ago 2012, 12:55

Non credo sia l'ora, vengono fuori cose allucinanti pure a me :? Il problema essenziale è che si riesce a ottenere una formula per l'accelerazione, al massimo per la velocità usando considerazioni energetiche, però in funzione dello SPAZIO percorso e non del tempo! In altre parole abbiamo e non possiamo integrarlo rispetto a uguali, ma solo rispetto a !
Un'idea disperata che mi è venuta è stata dividere i per ottenendo , ma ! Perciò viene fuori una cosa orrenda...

Epimenide
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Re: Corpo che accelera verso un pianeta

Messaggio da Epimenide » 9 ago 2012, 13:33

Io ieri notte ho fatto prove di tutti i tipi (integrali indefiniti trovando la costante sfruttando l'energia per i valori iniziali, integrali definiti, descrivendo la distanza come raggio del pianeta + distanza dal pianeta...) ma ottengo SEMPRE una frazionaria sotto radice da integrare. Non ho capito la tua "idea disperata" sinceramente :?

Gabry
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Re: Corpo che accelera verso un pianeta

Messaggio da Gabry » 9 ago 2012, 13:39

C'è un modo facile e veloce per risolvere il problema senza equazioni differenziali, basta considerare la caduta del corpo come un orbita ellittica molto sottile (un segmento infatti può essere considerato come un'ellisse degenere) e applicare la 3a legge di keplero

Epimenide
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Re: Corpo che accelera verso un pianeta

Messaggio da Epimenide » 9 ago 2012, 14:19

Gabry ha scritto:C'è un modo facile e veloce per risolvere il problema senza equazioni differenziali, basta considerare la caduta del corpo come un orbita ellittica molto sottile (un segmento infatti può essere considerato come un'ellisse degenere) e applicare la 3a legge di keplero
In questo modo al massimo troviamo il tempo impiegato a raggiungere il centro del pianeta, per caduta si intende il tempo impiegato a raggiungere la superficie, e la relazione tra i tempi non è lineare...

EDIT: la relazione tra i tempi potrebbe essere trovata sfruttando la seconda legge, ma trattandosi di un'ellisse degenere non è possibile calcolarla.

Omar93
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Re: Corpo che accelera verso un pianeta

Messaggio da Omar93 » 9 ago 2012, 15:05

Io sono d'accordo con gabry. Usando le leggi di conservazione è possibile trovare l'asse maggiore dell'ellisse e poi calcolare il tempo che sarà...

Gabry
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Re: Corpo che accelera verso un pianeta

Messaggio da Gabry » 9 ago 2012, 15:58

Epimenide ha scritto:
Gabry ha scritto:C'è un modo facile e veloce per risolvere il problema senza equazioni differenziali, basta considerare la caduta del corpo come un orbita ellittica molto sottile (un segmento infatti può essere considerato come un'ellisse degenere) e applicare la 3a legge di keplero
In questo modo al massimo troviamo il tempo impiegato a raggiungere il centro del pianeta, per caduta si intende il tempo impiegato a raggiungere la superficie, e la relazione tra i tempi non è lineare...

EDIT: la relazione tra i tempi potrebbe essere trovata sfruttando la seconda legge, ma trattandosi di un'ellisse degenere non è possibile calcolarla.
Senza sapere i raggi dei pianeti nemmeno analiticamente puoi trovare il tempo per raggiungere la superficie. Io mi riferisco al caso in cui la distanza tra i due corpi sia molto maggiore delle loro dimensioni.
Il tempo può essere trovato applicando la terza legge di Keplero dove r nel caso la traiettoria sia una circonferenza è il raggio, nel caso di un ellisse il semiasse maggiore e nel caso di un segmento è la distanza tra il punto medio e un estremo

Epimenide
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Re: Corpo che accelera verso un pianeta

Messaggio da Epimenide » 9 ago 2012, 17:00

Gabry ha scritto:Senza sapere i raggi dei pianeti nemmeno analiticamente puoi trovare il tempo per raggiungere la superficie. Io mi riferisco al caso in cui la distanza tra i due corpi sia molto maggiore delle loro dimensioni.
Il tempo può essere trovato applicando la terza legge di Keplero dove r nel caso la traiettoria sia una circonferenza è il raggio, nel caso di un ellisse il semiasse maggiore e nel caso di un segmento è la distanza tra il punto medio e un estremo
Fin qui c'ero. Un quarto del periodo è il tempo di caduta. Se consideri una circonferenza, altrimenti su un'ellisse anche sfruttando questa legge non ricavi granché, pensa a un semiasse maggiore dato, ma ad una grande eccentricità. Inoltre, se M>>m difficilmente il raggio del pianeta non è influente. Analiticamente si può, trattando R come un parametro, solo che viene un integrale disumano.

L'idea di Omar non l'ho capita.

Omar93
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Re: Corpo che accelera verso un pianeta

Messaggio da Omar93 » 9 ago 2012, 22:39

Provo a spiegarmi meglio..
Senza dimostrazione possiamo opotizzare che esista un'orbita ellittica come quella della figura con un fuoco M.
Allora se T è il periodo t/2 è il tempo cercato.
Per trovarlo. Dalla legge di conservazione di kepler abbiamo che
Essa ci dice che non importa se la nostra traiettoria attorno al pianeta è circolare o semplicemente ellittica, basta conoscere solo a per trovare il periodo. Se allora vale il discorso di ellisse per il nostro oggetto m allora per trovare il periodo della sua orbita degenere basta prendere in considerazione un'orbita circolare attorno ad M con l=2a.
Infatti: Nota: che la costante k non è conoscibile a priori. Devi usare la considerazione di sopra per poi calcolarti T conoscendo a.
E' facile a questo punto calcolarci il periodo. Fatto ciò basta poi dividere per 2 e trovare il risultato ottenuto, che è
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