Problema 1 sns 1980

[Omar93]

Si consideri un sistema di n palline sospese in quiete con i baricentri lungo
una linea orizzontale l e ad una distanza l’una dall’altra piccola rispetto
alla lunghezza dei fili di sospensione (vedi
figura).
La prima pallina abbia massa am, la seconda
a2m, la terza a3m, ecc. . Una pallina proiettile
di massa m e velocit`a v urta, muovendosi
lungo l, la prima pallina sospesa provocando
una serie di urti successivi. Supponendo
che le collisioni siano perfettamente
elastiche, calcolare la velocit`a e l’energia cinetica dell’ennesima pallina. Si
confronti con il caso di urto diretto proiettile–ennesima pallina esaminando
in particolare il caso in cui a `e prossimo a 1.

Io ho fatto così: mi metto nel c.m Calcolo ricordandomi della definizione di urto elastico e prendendo in considerazione la pallina n e qualla n+1. Mi viene fuori una successione geometrica.

[Gabry]

La soluzione più semplice è quella di utilizzare il sistema di riferimento del centro di massa delle due palline che ogni volta si urtano. Sono riuscito a trovare e quindi (per n>2), ma non sono riuscito a scriverlo in funzione di (questo tipo di matematica non è il mio forte )

[Omar93]

No no,a me non viene così. Potrei pure sbagliarmi quindi è meglio se posti il procedimento. Comunque credo che massimo massimo posterò solo problemi dal 1990 perchè sennò, soprattutto in questi giorni di esami, ci perderei molto tempo.

[Gabry]

Il metodo più sbrigativo è quello di cosiderare il sistema di riferimento del cdm. Considerando il primo proiettile la velocità del cdm vale cioè , la velocità della pallina ferma in questo sistema di riferimento vale e se l'urto è elastico cambia semplicemente di segno dopo l'urto cioè . Nel sistema di riferimento non più del centro di massa questa velocità diventa .
Ripetendo lo stesso procedimento per l'urto tra la prima e la seconda pallina, questa volta la velocità del cdm sarà cioè . La velocità della pallina ferma dopo l'urto (sempre seguendo il ragionamento di prima) sarà e così via..

[Epimenide]

Secondo me è controproducente in questo caso riferirsi al centro di massa. Ad ogni urto dobbiamo cambiare riferimento, essendo il sistema abbastanza semplice, in quanto avviene tutto su una retta direi che il riferimento del laboratorio è ideale per semplificare i calcoli. In generale abbiamo (urto elastico, con prima massa in movimento a velocità , seconda ferma e )



Analizzando il primo urto:



Col secondo:



E generalizzando,



Con energia cinetica



Mentre nel caso dell'urto proiettile - n-ma pallina





Per a che tende ad 1 abbiamo le palline che tendono ad avere tutte la stessa massa, perciò l'urto tra palline tende sempre maggiormente a trasferire tutta la velocità dalla pallina n-1-esima alla pallina n-esima.

[Gabry]

Secondo me è controproducente in questo caso riferirsi al centro di massa.
...

Quella formula della velocità si ottiene svolgendo i calcoli nel sistema di riferimento del centro di massa tra i corpi che si urtano, peraltro identica alla mia.
Le masse a2m, a3m, ecc stavano per ecc.? Avevo capito che fossero 2am, 3am, ecc. per questo i conti non mi risultavano...

[Epimenide]

Secondo me è controproducente in questo caso riferirsi al centro di massa.
...

Quella formula della velocità si ottiene svolgendo i calcoli nel sistema di riferimento del centro di massa tra i corpi che si urtano, peraltro identica alla mia.
Le masse a2m, a3m, ecc stavano per ecc.? Avevo capito che fossero 2am, 3am, ecc. per questo i conti non mi risultavano...

Io quella formula l'ho ottenuta risolvendo rispetto a v e V

Sono palesemente nel riferimento del laboratorio. Dal riferimento del cdm la ottieni sostituendo poi la velocità del cdm relativa al laboratorio, quindi prima fai tutti i calcoli rispetto al cdm e poi ti sposti nel laboratorio, ovviamente il risultato è lo stesso, ma rimanendo dall'inizio dei calcoli nel laboratorio risparmi qualche passaggio. Il riferimento del cdm è comodo in molti casi, ma in questo problema è abbastanza inutile usarlo.

[Omar93]

Si si, hai ragione. Questo era l'altro metodo che si poteva usare. Infatti se prendi le equazioni di conservazione della quantità di moto e dell'energia dimostri che le velocità relative iniziali sono opposte a quelle finali.