SNS 2008/2009 Problema 4

[Alex90]

Sono date 4 aste di lunghezza e massa uniformemente distribuita . Esse sono collegate l'una di seguito all'altra tramite dei giunti flessibili di peso e dimensioni trascurabili in modo da formare una catena, le cui estremità sono a loro volta attaccate, tramite gli stessi giunti, al soffitto di una stanza a una distanza tra di loro. Quale deve essere la minima altezza del soffitto della stanza per cui la catena, nella sua posizione di equilibrio, non tocca il pavimento?

[Pairo]

Notiamo innanzitutto che la configurazione è simmetrica rispetto al punto di giuntura delle due aste centrali. Chiamiamo le quattro aste, da destra a sinistra, . Chiamiamo inoltre l'angolo che le due aste esterne formano con il soffitto e l'angolo che le due aste centrali formano con il piano parallelo al soffitto passante per i punti di giuntura con quelle esterne. Si denota, per esempio, con la forza reciproca che agisce sulle aste e , mentre con la forza esercitata dal soffitto sulle aste esterne. Consideriamo l'asta ( una di quelle centrali). La forza è diretta orizzontalmente, per cui non influisce sulle componenti verticali. Si ha:



Per l'asta , si ha invece:

.

Poiché il sistema è in equilibrio, si ha inoltre che:



Combinando le tre equazioni precedenti, otteniamo:

e poiché gli angoli devono essere minori di si ha:

.

Sappiamo inoltre, dalla geometria del problema, che:

Per le relazioni trovate prima, e svolgendo i calcoli, si ottinene:

, da cui finalmente:



Spero di non aver fatto qualche cavolata

[CoNVeRGe.]

Attento ai momenti, nessuno ti assicura che ci sia equilibrio in quel modo.

Son curioso di sapere se questo problema si risolve ragionevolmente studiandone le forze e i momenti..

[Pairo]

Non ho tirato in ballo i momenti perché il sistema veniva determinato già dall'equilibrio alla traslazione. Se c'è equilibrio, le forze devono soddisfare quelle equazioni, quindi le uniche soluzioni possibili per le forze sono quelle che soddisfano il sistema di equazioni per la traslazione. Quindi se c'è un errore l'errore è in una delle equazioni che danno l'equilibrio alla traslazione.
Dove sbaglio?
Sarebbe apprezzatissimo anche qualche aiuto dall'alto

[CoNVeRGe.]

.

Come hai orientato rispetto alle aste?

[Pairo]

No, ok, avevo sbagliato tutto. Non so perché ma avevo considerato le forze tra le aste parallele alle aste stesse, cosa che in generale non è vera. Scusatemi, bisognerebbe rifletterci un po' di più prima di postare una soluzione. Ho sfruttato l'ora di filosofia per rifare il problema, e questa volta la soluzione dovrebbe essere corretta.

Con la notazione di prima, osserviamo che il sistema è simmetrico rispetto al punto di contatto tra e che chiamiamo , e dunque la forza esercitata tra le due aste centrali ha solo componente orizzontale; questa componente orizzontale è la stessa per la forza esercitata su tutte le aste. Consideriamo l'asta e scriviamo le equazioni dell'equilibrio alla rotazione rispetto ad O:

che diventa



dove si è tenuto conto che la componente verticale della forza esercitata da su è uguale alla sua forza peso. Consideriamo adesso l'asta , e scriviamo l'equazione del momento rispetto al punto di contatto con :

cioè:




dove si è tenuto conto che la componente verticale della forza esercitata dal soffitto su è uguale a . Combinando la e la si ha:



Dalla geometria del problema abbiamo inoltre:

.

Si dimostra che il sistema delle equazioni e ha solo una soluzione (si scrive tutto in funzione di una variabile, e si vede che la derivata prima è sempre minore di zero, quindi la funzione è biunivoca: il conto è breve ma diventa impegnativo da scrivere con latex). Notiamo inoltre che la coppia è soluzione di entrambe, e per quanto detto prima è anche l'unica. Possiamo ora esprimere allora l'altezza richiesta:

[CoNVeRGe.]

Complimenti, soluzione ordinata e precisa!

Solo che non capisco dalle due formule trigonometriche come si trovano le soluzioni..

Sono arrivato a qualcosa con soli ma mi viene di quarto grado.

[Pigkappa]

Le soluzioni si trovano ad occhio! Fin dall'inizio, facendo la figura e leggendo che:



Si capisce subito che gli angoli sono 60° e 30°.

[CoNVeRGe.]

Non capisco... supponendo ad esempio gli angoli uguali si ha:







Cos'altro si dovrebbe capire dalla figura?

[Pigkappa]

e sono i coseni di 60° e 30°... Era evidente che quella lunghezza non era scelta a caso, ma per far venire quel risultato.