Atterraggio su pianeta alieno

Falco5x · Messaggio da **Falco5x** » 18 mag 2009, 20:17

Ma scusate: perché rimettere tutto in gioco (energia potenziale, cinetica ed energia del carburante) quando avete già un bellissimo risultato appena trovato che potete utilizzare, ovvero la forza motrice in funzione dell'angolo?
Nota la forza motrice, utilizzando una relazione che si può facilmente ricavare tra questa e l'azione degli ugelli (usando il principio di conservazione della quantità di moto), è possibile trovare tutto.

Pairo · Messaggio da **Pairo** » 18 mag 2009, 23:05

Per il terzo principio di Newton, l'impulso ha uguale intensità sulla navicella e sul gas espulso, e quindi si può uguagliare l'impulso, con la forza f calcolata in precedenza, con la variazione della quantità di moto del gas. Però poi bisogna comunque passare dal principio di conservazione dell'energia, tenendo conto della forza applicata alla navicella e all'energia cinetica acquistata dal gas. Non sono molto fiducioso però, mi sembra molto simile al percorso di prima..

Falco5x · Messaggio da **Falco5x** » 19 mag 2009, 1:37

Pairo ha scritto:Per il terzo principio di Newton, l'impulso ha uguale intensità sulla navicella e sul gas espulso, e quindi si può uguagliare l'impulso, con la forza f calcolata in precedenza, con la variazione della quantità di moto del gas. Però poi bisogna comunque passare dal principio di conservazione dell'energia, tenendo conto della forza applicata alla navicella e all'energia cinetica acquistata dal gas. Non sono molto fiducioso però, mi sembra molto simile al percorso di prima..

Vai tranquillo, vedrai che si integra facilmente (ricorda l'approssimazione consigliata).

Falco5x · Messaggio da **Falco5x** » 20 mag 2009, 13:58

Beh?

Cos'è questa calma piatta?

Non capisco se succede perché ritenete questo problema poco attraente, oppure perché l'avete archiviato in quanto troppo difficile... cosa che non solo non è vera, ma non è neppure degna di voi.
Ne avete risolti di ben più tosti!

Forza dunque, attendo interventi risolutori.

Messaggio da **Pigkappa** » 20 mag 2009, 14:21

Magari tra le 2 di notte e l'una del pomeriggio successivo sono impegnati nel dormire e nell'andare a scuola

Falco5x · Messaggio da **Falco5x** » 20 mag 2009, 16:12

Pigkappa ha scritto:Magari tra le 2 di notte e l'una del pomeriggio successivo sono impegnati nel dormire e nell'andare a scuola

Vero! però tra l'una di notte del 19 (mio precedente post) fino alle 13 di oggi c'è stato anche tutto il pomeriggio di ieri e una lunga serata...
Se però hanno trovato di meglio da fare

non posso certo biasimarli, anzi sono assolutamente con loro

Pairo · Messaggio da **Pairo** » 20 mag 2009, 18:14

Allora ammetto che il problema mi aveva un po' scoraggiato, ma ieri invece ero a studiare per l'ultima terza prova, a cui sono riuscito a dedicare solo un pomeriggio di studio

. Con il problema non faccio molti passi avanti; per adesso sono arrivato qui:

come avevo detto, per il terzo principio, con F calcolata prima, si ha:

$Fdt = dmV$ , dove V è la velocità del gas espulso. Per il principio di conservazione, eliminando gli infinitesimi di ordine superiore:

$\frac{1}{2}dm(V^2-v^2)+mvdv=dm{e_S}$ . Si può trascurare per ipotesi il termine di $v^2$ , e semplificando $V$ dalle due equazioni si arriva alla forma:

$F^2(dt)^2 +2mvdvdm = 2(dm)^2{e_S}$ , che considerando la relazione tra dt e dv si può ricondurre ad un'equazione a due sole variabili, che però è bruttissima.

Dove sbaglio?

Falco5x · Messaggio da **Falco5x** » 20 mag 2009, 19:09

Pairo, in realtà nell'equazione finale stai eliminando la V dei gas di scarico, che invece sarebbe conveniente tenere perché sta nell'equazione principale della forza motrice.
Per determinare questa V mi aspetterei di vedere una relazione semplice perché i gas sono molto più veloci del modulo (si può assumerlo come ipotesi di lavoro e poi verificarlo a posteriori), e quindi si prendono quasi tutta l'energia del carburante. Come dire che nello sparo di un fucile quasi tutta l'energia della cartuccia va sul proiettile (e meno male, altrimenti il rinculo fracasserebbe la spalla di chi spara!).
In questo caso poi il modulo rallenta, quindi addirittura cede energia cinetica.
A margine ti faccio notare che V è la velocità relativa del gas, per cui forse nella tua equazione dell'energia non hai tenuto conto di questo (ma alla fine poco importa).
Prima di continuare aspetto di vedere se arrivano altri contributi.

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 20 mag 2009, 20:19

La conservazione dell'energia è:

$\displaystyle dL = e_S dm - (m + dm)g dy = \frac{1}{2}m[(v+dv)^2 - v^2] + \frac{1}{2}dm (V^2 - v^2)$

Con le dovute approssimazioni diventa:

$\displaystyle dL = e_S dm - mg dy = mvdv + \frac{1}{2}dm (V^2 - v^2)$

La conservazione della quantità di moto:

$\displaystyle |F| dt = - m dv = dm (V-v)$

Relazioni utili:

$\displaystyle dy = - h \sin \theta d \theta$

$\displaystyle dv = - \frac{gh \sin \theta}{2v}d \theta$

$\displaystyle v dt = h d \theta$

Sostituendo $\displaystyle dy$ e $\displaystyle dv$ nella conservazione dell'energia abbiamo:

$\displaystyle dL = e_S dm + \frac{3}{2}mg h \sin \theta d \theta = \frac{1}{2}dm (V^2 - v^2)$

Se ricaviamo $\displaystyle V$ dalla conservazione della quantità di moto e la inseriamo con il dovuto passaggio di variabile da $\displaystyle dt$ a $\displaystyle d\theta$ si ottiene:

$\displaystyle dL = e_S dm + \frac{3}{2}mg h \sin \theta d \theta = \frac{9m^2g^2\sin^2 \theta (d\theta)^2}{8v^2 dm} + \frac{3}{2}mg h \sin \theta d \theta$

Semplificando, moltiplicando per $\displaystyle dm$ e facendo la radice quadrata:

$\displaystyle \frac{1}{m}dm = \frac{3}{2} \sqrt{ \frac{gh}{2e_S} } \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos \theta}} d\theta$

Quindi

$\displaystyle \int_{m_0}^{m_{\pi/2}} \frac{1}{m}dm = \frac{3}{2} \sqrt{ \frac{gh}{2e_S} } \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos \theta}} d\theta$

$\displaystyle ln \frac{m_{\pi /2} }{m_0} = 3 \sqrt{ \frac{gh}{2e_S} }=3 \sqrt{ \frac{v^2}{2e_S} }$

Tutto ok, se non fosse per un segno meno

Falco5x ha scritto:
Beh?
Non capisco se succede perché ritenete questo problema poco attraente, oppure perché l'avete archiviato in quanto troppo difficile... cosa che non solo non è vera, ma non è neppure degna di voi.

Sono impegnato anch'io questi giorni.. siamo indietro col programma di quinto e io sto a sua volta indietro al nostro programma.

E poi con le robe differenziali sono ancora molto disorientato..

Pairo · Messaggio da **Pairo** » 20 mag 2009, 20:23

Allora, intanto ringrazio Falco5x per l'infinita pazienza

; alla fine dovrei essere riuscito ad arrivare al risultato numerico previsto (circa $260kg$ ), anche se ovviamente il mio procedimento ha tutto il diritto di essere sbagliato

.
Parto dalle premesse suggerite, e, nel bilancio energetico, considero solamente il contributo dato dai gas di scarico. Si ha allora

$\displaystyle {e_S}dm = \frac{1}{2}dmV^2$ dove $V$ è la velocità relativa dei gas nei confronti dell'astronave. Si ha allora:

$\displaystyle V = \sqrt{2{e_S}}$

Come prima, si può scrivere anche, per il terzo principio:

$\displaystyle Fdt = dmV (1)$ dove $F$ è la forza calcolata prima e $V$ è sempre la velocità relativa del gas.Poiché si ha inoltre:

$\displaystyle dt = d\theta\sqrt{\frac{h}{gcos\theta}}$ possiamo riscrivere l'equazione $(1)$ come segue:

$-\frac{3}{2}g\sin\theta\sqrt{\frac{h}{gcos\theta}}d\theta = \frac{dm}{m}\sqrt{2{}e_S}$ Risolviamo allora l'equazione differenziale, ottenendo:

$\displaystyle {m_\theta} = e^{\frac{3{v_0}}{\sqrt{2{e_S}}}(\sqrt\cos\theta}-1)}{m_0}$ .

Da cui si ricava che la massa richiesta è ${m_x} = 259 Kg$ .

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