SNS 2017 n.5

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.Ruben.
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SNS 2017 n.5

Messaggio da .Ruben. » 4 ott 2017, 12:30

Una formica puntiforme si muove sul piano cartesiano, partendo dal punto A = (1, 0), e vuole raggiungere il punto B = (2, 0).
E' però vincolata a muoversi su una pedana della forma di un anello centrato in (0, 0) di raggi 1 e 2 e, relativamente ad essa, si può muovere con velocità unitaria in direzione qualsiasi.
La pedana ruota in senso antiorario con velocità uniforme in modo da compiere ω giri in un tempo unitario, con 0≤ω≤1. Qual è il tempo minimo T(ω), in funzione di ω, che serve per raggiungere B?
Nota: il cammino più breve sull'anello che congiunge due punti che si trovano sul bordo interno dell'anello è l'arco di cerchio di lunghezza minima che li congiunge.

lance00
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Re: SNS 2017 n.5

Messaggio da lance00 » 4 ott 2017, 21:35

t = x/w
dove w = velocità angolare e x soddista l'equazione sqrt(5+4cosx) = (x^2)/w ? :?

.Ruben.
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Re: SNS 2017 n.5

Messaggio da .Ruben. » 5 ott 2017, 8:00

Come ci sei arrivato?

lance00
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Re: SNS 2017 n.5

Messaggio da lance00 » 5 ott 2017, 13:49

Noto che il problema è equivalente se tolgo la pedana e faccio muovere il punto B in senso orario. Impongo poi che la formica incontri B quando le sue cordinate sono (2cosx,2sinx). Eguaglio i tempi di percorrenza e dopo un po' di conti arrivo a quell'equazione :D

lance00
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Re: SNS 2017 n.5

Messaggio da lance00 » 11 nov 2017, 14:47

Mi sono reso conto di un errore :oops: nella mia soluzione facevo passare la formica anche per il cerchio di centro (0,0) e raggio 1 e quindi è chiaramente sbagliata. Provo a rimediare :)

Suppongo che la pedana non ruoti (tanto sia la formica che B si muovono su questo sdr e quindi per loro è come se non esistesse) e che la formica incontri B quando si trova in P: Chiaramente se (ce ne possiamo accorgere disegnando la tangente al cerchio di raggio 1 in (1;0)) esiste un percorso rettilineo che congiunge A (posizione iniziale della formica) e P di lunghezza e poiché la velocità della formica è unitaria . Se invece la formica deve muoversi lungo il cerchio di raggio 1 fino a che non incontra la retta tangente al cerchio di raggio 1 e passante per P nel punto Q. Applicando il teorema della secante, si ottiene e siccome (il triangolo con M punto medio di BO è equilatero in quanto QO e CO raggi e QC = OC per una nota proprietà dei triangoli rettangoli) la formica percorre un arco che sottende un angolo al centro pari a (se ). Dunque in questo caso . Se invece alla formica conviene girare in senso orario di un angolo e quindi . In ogni caso bisogna che B sia effettivamente in P dopo un tempo t. Bisogna quindi mettere a sistema le equazioni trovate per t con .

carol
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Re: SNS 2017 n.5

Messaggio da carol » 13 nov 2017, 11:34

Non ho approfondito e quindi posso dire cavolate ma non mi torna perchè avrebbe le dimensioni di un angolo al quadrato :?: :?:
Sono subissato da verifiche e non mi posso concentrare su questo bellissimo problemino. Comunque esprimo l'opinione che è importante la Nota e sono importanti i venti alisei che si studiano a geografia?! :?: :!:

lance00
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Re: SNS 2017 n.5

Messaggio da lance00 » 13 nov 2017, 14:56

w in questo problema non è la velocità angolare ma la frequenza :)

carol
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Re: SNS 2017 n.5

Messaggio da carol » 13 nov 2017, 17:59

ok. Ma credo che la mia opinione sul problema rimanga :roll:

lance00
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Re: SNS 2017 n.5

Messaggio da lance00 » 13 nov 2017, 19:55

ho tenuto conto della nota ... e direi che coriolis possiamo trascurarlo :D

carol
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Re: SNS 2017 n.5

Messaggio da carol » 15 nov 2017, 11:55

Avendo capito che si trattava di un quesito di matematica (ho visto nel sito SNS) provo allora da scuola la mia soluzione. La formica deve andare nel tempo t dalle sue coordinate assolute (1,0) al punto B che è passato dalle coordinate assolute (2,0) alle coordinate assolute . Per impiegare il tempo t minimo alla formica conviene seguire il bordo interno all'anello di lunghezza poichè addiziona la propria velocità relativa (1m/s) alla velocità di trascinamento . Poi deve attraversare la piattaforma che è 1 m alla velocità di 1 m/s (in questo caso la velocità di trascinamento è perpendicolare al raggio e dunque inefficace all'attraversamento). Allora ricapitolando deve essere
da cui risulta ricavando t in funzione di
. Chiaramente se il tempo è minimo dei minimi perchè basta attraversi la piattaforma impiegando T=1s. Se il tempo minimo è il massimo dei minimi ovveros :?: :?:

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