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 Serie di misure e errori, dubbio 
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Iscritto il: 12 dic 2014, 16:15
Messaggi: 18
Messaggio Serie di misure e errori, dubbio
Se ho una serie x_i di misure strumentali con relativa incertezza e (dello strumento) del tipo (x_i \pm e) posso prendere come misura la media delle misure e come errore la semidispersione?
Per calcolare la semidispersione, detti x_M,x_m il massimo e il minimo delle misure x_i, mi basta fare (X_M-x_m)/2 ? E dove finisce l'incertezza e dello strumento?

In sostanza non ho capito, data una serie di misure con relativa incertezza, quale sia alla fine il valore da considerare (suppongo il valore medio) e quale sia l'errore da prendere (l'incertezza dello strumento o la semidispersione/deviazione standard/ecc.)


11 apr 2016, 18:23
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Iscritto il: 3 giu 2014, 19:36
Messaggi: 6
Messaggio Re: Serie di misure e errori, dubbio
Quello che ottieni valutando la dispersione di misure ripetute della stessa grandezza non è una stima dell'errore di misura ma una stima della ripetibilità della misura per quella particolare grandezza.

L'errore di misura di uno strumento non è dato solo dalla ripetibilità ma anche dall'accuratezza, ovvero dallo scostamento che si può avere tra la lettura "centrale" (ossia a meno della ripetibilità) dello strumento ed il reale valore della grandezza; questo scostamento è spesso maggiore della ripetibilità dello strumento.

Per fare un esempio pratico, con una bilancia a piatti potresti trovare che il tuo campione ha un peso che risulta sempre identico a quello del peso campione da 100 g, per cui la dispersione delle misure risulta zero. Ma se la serie di pesi campione risulta tarata con errore di \pm0,5 g devi comunque mettere in conto un errore di misura di 0,5g

In definitiva devi tenere conto del valore di incertezza dichiarato da chi ha costruito o tarato lo strumento.


12 apr 2016, 15:56
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Iscritto il: 12 dic 2014, 16:15
Messaggi: 18
Messaggio Re: Serie di misure e errori, dubbio
Intanto ti ringrazio della risposta :)

La cosa che non ho capito è esattamente questa:
In una serie di misure, come faccio a tenere conto sia dell'incertezza strumentale che della ripetibilità di una misura?


12 apr 2016, 16:39
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Iscritto il: 3 giu 2014, 19:36
Messaggi: 6
Messaggio Re: Serie di misure e errori, dubbio
Supponendo che l'incertezza di misura dello strumento e e la ripetibilità r siano indipendenti e le distribuzioni dei rispettivi errori siano caratterizzate dalle deviazioni standard \sigma_e e \sigma_r la distribuzione dell'errore di misura combinato E è usualmente caratterizzata dalla deviazione standard

\sigma_E=\sqrt{\sigma_e^2+\sigma_r^2}

Come incertezza della misura puoi allora prendere \pm 2\sigma_E, \pm 3\sigma_E o anche \pm 6\sigma_E a seconda del grado di paranoia richiesto :mrgreen:
(il numeretto che moltiplica \sigma è spesso detto fattore di copertura)

\sigma_e lo ricavi dall'incertezza della taratura dello strumento; se questa è già data in termini della deviazione standard
come \pm k\sigma basta dividere per il fattore di copertura k. Se invece è dato semplicemente un intervallo di incertezza è prudenziale assumere che l'errore sia distribuito in modo uniforme su questo intervallo e in tal caso i calcoli mostrano che \sigma=\frac{D}{\sqrt3} ove D è il semi-intervallo di incertezza.
Per quanto riguarda \sigma_r lo stimi calcolando lo scarto quadratico medio della tua serie di misure. Questa è la deviazione standard della ripetibilità della singola misura. Se come "misura" prendi la media di n misure singole puoi dividere questo valore per \sqrt{n}

Tieni presente che nella realtà ci sono di solito anche altre fonti di incertezza di misura che vanno analizzate attentamente (la vita dello sperimentale è dura :twisted: ) e che il discorso che ho fatto è solo un primo abbozzo (ho cercato di non scrivere un trattato)


12 apr 2016, 19:23
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Iscritto il: 12 dic 2014, 16:15
Messaggi: 18
Messaggio Re: Serie di misure e errori, dubbio
Grazie :D

Per esempio se ho una serie di misure (a, b, c, d) con incertezza dello strumento pari a \pm I detta M=(a+b+c+d) /4 la media delle misure, si ha:

\sigma_r=\sqrt{\frac{(M-a)^2+(M-b)^2+(M-c)^2+(M-d)^2} 4}
\sigma_e=\frac I{\sqrt 3}

Giusto?
E dunque

\sigma_E=\sqrt{\sigma_r^2 +\sigma_e^2} (perché non c'è il diviso 2? Infondo sto facendo la deviazione standard e dovrei dividere per n, o hai diviso per n-1 cioè 1?)


13 apr 2016, 11:36
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Iscritto il: 3 giu 2014, 19:36
Messaggi: 6
Messaggio Re: Serie di misure e errori, dubbio
Quasi giusto.

Nella stima della deviazione standard \sigma_r la media M è ricavata dallo stesso campione che usi nella stima e quindi devi dividere per n-1=3 e non per n=4. Questo perché la media M, essendo ricavata dal campione tende ad essere meglio centrata rispetto al campione del "vero" valore della grandezza e quindi produce scarti quadratici mediamente minori rispetto a quelli che si avrebbero utilizzando il "vero" valore centrale delle misure. Si può mostrare con conti che la divisione per n-1 produce la giusta correzione.

Riguardo al calcolo di \sigma_E non c'è alcuna divisione da fare perché in questo caso non è stimata da un campione, ma si ottiene la \sigma_E relativa all'errore combinato E=e+r dalle \sigma_e e \sigma_r usando l'equazione di propagazione degli errori

\sigma^2_{a+b+c+\cdots}=\sigma^2_a+\sigma^2_b+\sigma^2_c+\cdots

(valida per errori a b c indipendenti tra loro, altrimenti vi sono termini aggiuntivi con le covarianze)


13 apr 2016, 16:48
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Iscritto il: 11 gen 2009, 14:58
Messaggi: 1548
Località: Oxford
Messaggio Re: Serie di misure e errori, dubbio
wall ha scritto:
Se ho una serie x_i di misure strumentali con relativa incertezza e (dello strumento) del tipo (x_i \pm e) posso prendere come misura la media delle misure e come errore la semidispersione?
Per calcolare la semidispersione, detti x_M,x_m il massimo e il minimo delle misure x_i, mi basta fare (X_M-x_m)/2 ? E dove finisce l'incertezza e dello strumento?

In sostanza non ho capito, data una serie di misure con relativa incertezza, quale sia alla fine il valore da considerare


Purtroppo, la risposta vera e' che questa e' una situazione complicata e quello che devi fare dipende dal grado di istruzione e dalla specifica applicazione, per cui possiamo aiutarti solo fino a un certo punto.

Se sei alle scuole medie, probabilmente ti puoi scordare dell'errore e fare una misura sola. Se sei al liceo scientifico, probabilmente dovrai prendere la media delle misure e una tra la semidispersione e l'incertezza dello strumento (possibilmente la più grande delle due). Se sei a Senigallia o alle IPhO, di solito la semidispersione o l'incertezza dello strumento vanno bene, ma in qualche caso dovrai prendere gli accorgimenti indicati da Gatsby e considerarle entrambe (ma non importa granché se usi n o n-1 al denominatore). Se sei all'universita', indubbiamente dovrai fare un'analisi seria degli errori che comprende sia la distribuzione delle misure che l'incertezza dello strumento. Se stai facendo una tesi in fisica sperimentale, dovrai fare un'analisi degli errori molto più complicata che quasi sicuramente richiederà simulazioni numeriche (vediti il Metodo Montecarlo se sei interessato) per determinare la distribuzione dell'errore per la grandezza che vuoi misurare.

_________________
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)


14 apr 2016, 14:53
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